שיעור 40- קשר בין הפונקציה לנגזרת 5

נושא השיעור-נלמד בשיעור על הקשר בין הפונקציה לנגזרת

הקשר הגרפי

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה מאפשר לנו "לקרוא" את התנהגות הפונקציה על סמך גרף הנגזרת.

• נגזרת חיובית: כאשר הנגזרת חיובית, הפונקציה המקורית עולה.

• נגזרת שלילית: כאשר הנגזרת שלילית, הפונקציה המקורית יורדת.

• נגזרת מתאפסת: כאשר הנגזרת מתאפסת, הפונקציה המקורית מגיעה לנקודת קיצון (מקסימום או מינימום).

• נגזרת משנה סימן: כאשר הנגזרת משנה סימן מחיובי לשלילי או להיפך, הפונקציה המקורית עוברת מנקודת קיצון.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו שאלת בגרות עם שלושה סעיפים על גרף של נגזרת: השלמת גרף של פונקציה זוגית, מציאת נקודות קיצון, ושרטוט הפונקציה 👇

🟣 תזכורת: הכללים

1. נקודות הקיצון של f(x) הן נקודות האפס של f'(x) (חיתוך עם ציר ה־x)

2. תחומי הירידה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת שלילית (f'(x) < 0) ← גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x

3. תחומי העלייה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת חיובית (f'(x) > 0) ← גרף הנגזרת מעל ציר ה־x

🟡 התרגיל מהסרטון

f(x) היא פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא −3 ≤ x ≤ 3 . בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת f'(x) .

סעיף א: הפונקציה f'(x) פונקציה זוגית, החותכת את ציר ה־x בנקודה (2 , 0) . השלם את השרטוט בצד השמאלי של הגרף.

פונקציה זוגית ← הגרף סימטרי לציר ה־y (מה שבצד ימין מופיע כמו במראה בצד שמאל).

לכן אם (2 , 0) על הגרף, גם (−2 , 0) על הגרף.

תשובה: משלימים את הצד השמאלי כמו תמונת מראה, וגרף הנגזרת חותך את ציר ה־x גם ב־x = −2

סעיף ב: רשום את ערכי ה־x שעבורם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות, וקבע את סוגן.

נקודות חשודות לקיצון: איפה ש־f'(x) = 0 ← x = −2 , x = 0 , x = 2

קוראים את הסימן של הנגזרת מהגרף:

משמאל ל־−2 : מתחת לציר ← f יורדת ↘

בין −2 ל־0: מעל הציר ← f עולה ↗

בין 0 ל־2: מעל הציר ← f עולה ↗

מימין ל־2: מתחת לציר ← f יורדת ↘

ב־x = 0 הנגזרת רק נוגעת בציר ולא מחליפה סימן (עולה ועולה), ולכן זו לא נקודת קיצון.

תשובה: מינימום ב־x = −2 , מקסימום ב־x = 2

סעיף ג: נתון ש־f(x) > 0 בתחום −3 ≤ x ≤ 3 , ונתון f(−2) = 1 . שרטט סקיצה של f(x) בתחום הנ"ל.

נקודת המינימום: (−2 , 1)

הגרף כולו מעל ציר ה־x (כי f(x) > 0).

הסקיצה: מ־x = −3 יורדת עד (−2 , 1) , עולה עד המקסימום ב־x = 2 , ומשם יורדת עד x = 3 (בלי לרדת מתחת לציר ה־x).

תשובה: נקודת מינימום (−2 , 1)

💡 לזכור

נקודה שבה גרף הנגזרת רק נוגע בציר ה־x בלי לחצות אותו איננה נקודת קיצון. קיצון יש רק כשהנגזרת מחליפה סימן.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il