שיעור 6 -משוואות עם שורשים-1

נושא השיעור-

פתרון משוואות עם שורשים

משוואות עם שורשים, הנקראות גם משוואות אי-רציונליות, הן משוואות בהן המשתנה מופיע בתוך שורש. 

שלבים לפתרון משוואה עם שורש:

1. בידוד השורש: אם יש יותר משורש אחד, יש לבודד את אחד מהם באחד האגפים.

2. העלאה בריבוע: העלאה בריבוע של שני אגפי המשוואה מבטלת את השורש.

3. פתרון המשוואה: לאחר ההעלאה בריבוע, פותרים את המשוואה המתקבלת.

4. בדיקה: חשוב לבדוק את הפתרונות שהתקבלו במשוואה המקורית, שכן העלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרונות זרים, (במקרה ששני האגפים חיוביים אין צורך לבצע בדיקה).

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו משוואות עם שורשים: מבודדים את השורש, מעלים בריבוע את שני האגפים, פותרים ועושים בדיקה. ראינו גם למה לפעמים פתרון נופל 👇

🟡 תרגיל 1: פתרון המשוואה 2√x − 6 = 0

פתרו את המשוואה 2√x − 6 = 0

מעבירים את ה־6 לצד השני, כך שהשורש לבד:

2√x = 6

מעלים בריבוע את שני האגפים. כל גורם עולה בריבוע:

2² = 4

(√x)² = x

4 · x = 36

מחלקים ב־4:

x = 9

למה העברנו קודם את ה־6? אם מעלים בריבוע מיד, מקבלים

(2√x − 6)²

ואז צריך לפתוח בנוסחת הכפל המקוצר

(a − b)² = (a − b)(a − b)

אפשר, אבל זה ארוך יותר.

בדיקה: מציבים 9 במשוואה המקורית. האם מתקיים:

2√9 − 6 = 0

2 · 3 − 6 = 0 ✓

שימו לב: √9 = 3 בלבד. רק במשוואה x² = 9 התשובה היא x = ±3

כאן שני האגפים חיוביים: 6 חיובי, וגם 2√x חיובי (שורש תמיד חיובי). לכן לא היינו חייבים לבדוק.

תשובה: x = 9

🔵 תרגיל 2: פתרון המשוואה √x = −3 (אין פתרון)

פתרו את המשוואה √x = −3

מעלים בריבוע את שני האגפים:

x = 9

האגף הימני שלילי, ולכן חובה לעשות בדיקה. האם מתקיים:

√9 = −3

3 ≠ −3

לכן הפתרון x = 9 נופל.

תשובה: אין פתרון לתרגיל

🟢 למה פתרונות נופלים? דוגמה

נתון: x = −3

מעלים בריבוע את שני האגפים (מותר, כי עושים את אותה פעולה בשני האגפים):

x² = 9

x = √9

x = ±3

קיבלנו גם x = 3 , אבל נתון ש־x = −3 בלבד.

הפתרון x = 3 "נולד" מההעלאה בריבוע, והוא לא נכון:

3 ≠ −3

לכן הוא נופל.

מסקנה: כשאגף אחד שלילי, חובה לעשות בדיקה.

💡 לזכור

משוואה עם שורש: מבודדים ← מעלים בריבוע ← פותרים ← בדיקה. אם אגף אחד שלילי, חובה לבדוק, כי העלאה בריבוע יכולה להוליד פתרון שנופל.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il