מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 13: גבהים, אנך אמצעי וחוצה זווית
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש · שיעור 13
📄 דף הסבר: גבהים, אנך אמצעי וחוצה זווית
גבהים, האנך האמצעי וחוצה הזווית כמקום גאומטרי, ומרכזי המעגלים
גבהים במשולש (גם בקהה זווית)
גובה = אנך מקדקוד לצלע שמולו
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לישר שעליו הצלע שמולו (לפעמים על ההמשך שלה)
במשולש קהה זווית: הגובה מ־C נופל על המשך הצלע AB ← CF מאונך להמשך של AB
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לישר שעליו הצלע שמולו (לפעמים על ההמשך שלה)
📐 📐 משפט: שלושת הגבהים במשולש – או הישרים שעליהם הם מונחים – נפגשים בנקודה אחת
במשולש קהה זווית נקודת המפגש H נמצאת מחוץ למשולש; בישר זווית – בקדקוד הזווית הישרה
האנך האמצעי כמקום גאומטרי
הישר דרך M מאונך ל־AB ו־AM = MB: אנך אמצעי ← הגדרה
📐 הגדרה: אנך אמצעי: ישר שמאונך לקטע ועובר באמצעו
P נקודה כלשהי על האנך האמצעי ← מחברים את P ל־A ול־B
△PMA ≅ △PMB ← צ.ז.צ: AM = MB , ∢PMA = ∢PMB = 90 , PM משותפת
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
PA = PB ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 📐 משפט: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע – ולהפך
📐 📐 שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת – מרכז המעגל החוסם
חוצה הזווית כמקום גאומטרי
P על חוצה הזווית ∢A. מורידים אנכים PE ו־PF לשוקיים ← המרחק מנקודה לישר הוא האנך
📐 הגדרה: מרחק של נקודה מישר: אורך האנך מהנקודה לישר
∢PAE = ∢PAF , ∢AEP = ∢AFP = 90 ← גם ∢APE = ∢APF ← חוצה זווית + סכום זוויות במשולש
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
△APE ≅ △APF ← ז.צ.ז (AP צלע משותפת)
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
PE = PF ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 📐 משפט: כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית – ולהפך
📐 📐 שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת – מרכז המעגל החסום
אנך אמצעי: PA = PB · חוצה זווית: מרחקים שווים מהשוקיים · מפגש האנכים האמצעיים – מרכז מעגל חוסם · מפגש חוצי הזוויות – מרכז מעגל חסום ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: אנך אמצעי עם משוואה, טריק ההיקף, חוצה זווית עם משוואה, מרכז המעגל החסום והוכחה של מרכז המעגל החוסם. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: אנך אמצעי · קל
P נמצאת על האנך האמצעי של הקטע AB
PA = 3x − 4 , PB = x + 6. מצאו את x ואת PA
PA = 3x − 4 , PB = x + 6. מצאו את x ואת PA
P על האנך האמצעי של AB ← נתון
PA = PB ← נקודה על האנך האמצעי – במרחק שווה מקצות הקטע
📐 משפט: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך) PA = PB
3x − 4 = x + 6 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
3x − x = 6 + 4 ⟹ 2x = 10 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 5 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
PA = 3 · 5 − 4 = 11 , PB = 5 + 6 = 11 ✔ ← מציבים x = 5
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 5 , PA = 11
🟢 תרגיל 2: אנך אמצעי והיקף · בינוני
במשולש ABC: AB = 10 , AC = 6. האנך האמצעי של BC חותך את AB ב־D
מצאו את היקף המשולש ADC
מצאו את היקף המשולש ADC
AB = 10 , AC = 6 , D על האנך האמצעי של BC ← נתון
DB = DC ← נקודה על האנך האמצעי – במרחק שווה מקצות הקטע
📐 משפט: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך) PA = PB
היקף △ADC = AD + DC + AC ← סכום הצלעות
= AD + DB + AC ← מציבים DC = DB
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
= AB + AC = 10 + 6 = 16 ← AD + DB = AB
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
✅ פתרון סופי: היקף המשולש ADC הוא 16
🟣 תרגיל 3: חוצה זווית ומרחקים · קל
P על חוצה הזווית ∢A. PE ו־PF אנכים לשוקי הזווית
PE = 2y + 1 , PF = 5y − 8. מצאו את y ואת המרחק של P מהשוקיים
PE = 2y + 1 , PF = 5y − 8. מצאו את y ואת המרחק של P מהשוקיים
P על חוצה ∢A , PE ⊥ AE , PF ⊥ AF ← נתון
PE = PF ← נקודה על חוצה זווית – במרחק שווה משוקי הזווית
📐 משפט: כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית (ולהפך)
2y + 1 = 5y − 8 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
1 + 8 = 5y − 2y ⟹ 9 = 3y ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
y = 3 ← מחלקים ב־3
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
PE = 2 · 3 + 1 = 7 , PF = 5 · 3 − 8 = 7 ✔ ← מציבים y = 3
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: y = 3 , המרחק הוא 7
🔷 תרגיל 4: מרכז המעגל החסום · מורכב
במשולש ABC: ∢A = 70. חוצי הזוויות ∢B ו־∢C נפגשים בנקודה I
מצאו את ∢BIC ואת ∢BAI
מצאו את ∢BIC ואת ∢BAI
∢A = 70 , BI ו־CI חוצי זוויות ← נתון
∢B + ∢C = 180 − 70 = 110 ← סכום הזוויות במשולש ABC
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢IBC = ∢B : 2 , ∢ICB = ∢C : 2 ← חוצי זוויות
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
∢IBC + ∢ICB = 110 : 2 = 55 ← חצי מהסכום
∢BIC = 180 − 55 = 125 ← סכום הזוויות במשולש BIC
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
AI חוצה את ∢A ← שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת
📐 משפט: שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החסום
∢BAI = 70 : 2 = 35 ← AI חוצה זווית
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
✅ פתרון סופי: ∢BIC = 125 , ∢BAI = 35
🔵 תרגיל 5: הוכחה: מרכז המעגל החוסם
במשולש ABC האנכים האמצעיים של AB ושל BC נפגשים בנקודה O
הוכיחו: OA = OB = OC , ו־O נמצאת גם על האנך האמצעי של AC
הוכיחו: OA = OB = OC , ו־O נמצאת גם על האנך האמצעי של AC
O על האנך האמצעי של AB ועל האנך האמצעי של BC
OA = OB ← O על האנך האמצעי של AB
📐 משפט: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך) PA = PB
OB = OC ← O על האנך האמצעי של BC
📐 משפט: כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע (ולהפך) PA = PB
OA = OB = OC ← שתי השורות הקודמות
OA = OC ← מהשורה הקודמת
O על האנך האמצעי של AC ← נקודה במרחקים שווים מקצות קטע – על האנך האמצעי שלו
📐 משפט הפוך: נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע – נמצאת על האנך האמצעי שלו
מעגל שמרכזו O ורדיוסו OA עובר דרך A , B , C ← OA = OB = OC
📐 משפט: שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החוסם
✅ פתרון סופי: הוכחנו: OA = OB = OC – O מרכז המעגל החוסם
💡 לזכור
מרחק מנקודה לישר הוא תמיד האנך. בחוצה זווית – מורידים אנכים לשוקיים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il