מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 5 -פתרון בגרות 2018 חורף- שאלון 481 4 יחידות-בעיית קיצון גאומטרית
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2018 חורף (שאלון 481) שני ריבועים צמודים, ומחפשים את אורך האלכסון שעבורו הקטע DF הכי קצר. עובדים לפי שלושת השלבים: פונקציית מטרה בנעלם אחד, גזירה והשוואה ל־0, הוכחה שזה מינימום.
🔵 סעיף א: אורך האלכסון DB שעבורו אורך הקטע DF מינימלי (פיתגורס, נגזרת של שורש)
ABCD ו־BEFG הם שני ריבועים. הצלע BC מונחת על הצלע BG , כמתואר בציור. נתון: DB + BF = a . א. מצא את אורך האלכסון DB שעבורו אורך הקטע DF הוא מינימלי (הבע באמצעות a).
שלב 1: פונקציית המטרה מבוטאת על ידי נעלם אחד. פונקציית המטרה היא DF
מסמנים את מה שמחפשים: DB = x
מהנתון: DB + BF = a
x + BF = a
BF = a − x
האלכסון בריבוע חוצה את הזווית הישרה: ∢DBC = 45° , ∢CBF = 45° , ולכן
∢DBF = 45° + 45° = 90°
משולש DBF ישר זווית, ולפי משפט פיתגורס:
BD² + BF² = DF²
x² + (a − x)² = DF²
x² + a² − 2ax + x² = DF²
DF² = 2x² − 2ax + a²
מוציאים שורש:
DF = √2x² − 2ax + a²
שלב 2: גוזרים ומשווים ל־0. נגזרת של שורש: (√f(x))' = f'(x)2√f(x)
DF' = 4x − 2a2√2x² − 2ax + a² = 0
כופלים במכנה (המכנה נופל):
4x − 2a = 0
4x = 2a /:4
x = 2a4 = a2
שלב 3: מוכיחים שזה מינימום. המכנה תמיד חיובי, ולכן את הסימן קובע המונה: f'(x) = 4x − 2a
מציבים מספר קטן מ־a2 ( 14a ) ומספר גדול ממנו ( a ):
f'(14a) = 4·14a − 2a = −a < 0
f'(a) = 4a − 2a = 2a > 0 (נתון a > 0)
| f | ↘ | ↗ | |
| f' | − | 0 | + |
| x | 14a | a2 | a |
הפונקציה יורדת ואחר כך עולה סביב a2 , ולכן זו נקודת מינימום.
תשובה: DB = a2
🟣 סעיף ב: היחס AB חלקי BE כאשר DF מינימלי
ב. עבור אורך הקטע DB שמצאת בסעיף א, מהו היחס ABBE ? נמק.
מציבים x = a2 ב־BF :
BF = a − a2 = a2
קיבלנו BF = BD : האלכסונים של שני הריבועים שווים, ולכן שני הריבועים שווים.
לכן הצלעות שוות: AB = BE
ABBE = 1
תשובה: ABBE = 1
💡 לזכור
כשפונקציית המטרה היא שורש, בבדיקת המינימום מספיק להציב במונה של הנגזרת: המכנה (שורש) תמיד חיובי ולא משנה את הסימן.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il