מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 20- פתרון בגרות 2017 מועד ב-חקירת שורש (לא לינארי עם חזקה בשורש)
לעמוד הקורס⇐
פתרון בגרות 2017 מועד ב-חקירת שורש 4 יחידות
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת חקירת פונקציית שורש לא לינארי עם חזקה בשורש מבגרות 481, 2017 מועד ב: תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון עם נגזרת של מכפלה, סקיצה וגרף הנגזרת, עבור f(x) = x√4 − x² 👇
🟡 סעיף א: תחום הגדרה של f(x) = x√4 − x²
נתונה הפונקציה f(x) = x√4 − x². מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
מה שבתוך השורש גדול שווה 0 (אי־שוויון ריבועי):
4 − x² ≥ 0
משווים ל־0:
4 − x² = 0
4 = x²
x = ±2
יש מינוס לפני x² ← פרבולה "בוכה". היא מעל ציר x (וגם עליו) בין (−2) ל־2.
תשובה: ת"ה: −2 ≤ x ≤ 2
🔵 סעיף ב(1): נקודות החיתוך עם הצירים
(1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
חיתוך עם ציר y, מציבים x = 0:
f(0) = 0 · √4 − 0² = 0
(0 , 0)
חיתוך עם ציר x, מציבים y = 0:
0 = x · √4 − x²
מכפלה שווה 0 ← אחד הגורמים שווה 0:
x = 0 (כבר מצאנו)
או:
√4 − x² = 0 / ()²
4 − x² = 0
4 = x²
x = ±2
תשובה: (0 , 0) , (2 , 0) , (−2 , 0)
🟢 סעיף ב(2): נקודות הקיצון – נגזרת של מכפלה עם שורש
(2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן.
נגזרת של מכפלה:
y = f · g
y′ = f′ · g + g′ · f
נגזרת של שורש:
√f(x)′ = f′(x)2√f(x)
כאן:
f = x
g = √4 − x²
y′ = 1 · √4 − x²
+ −2x2√4 − x² · x = 0
מצמצמים את 2 ומסדרים:
√4 − x² − x²√4 − x² = 0
מעבירים אגף וכפל בהצלבה:
√4 − x²1 = x²√4 − x²
זוכרים: √x · √x = x
4 − x² = x²
4 = 2x²
2 = x²
x = ±√2
y בפונקציה המקורית:
f(√2) = √2 · √4 − (√2)²
= √2 · √4 − 2 = √2 · √2 = 2
(√2 , 2)
f(−√2) = −√2 · √4 − (−√2)²
= −√2 · √4 − 2 = −2
(−√2 , −2)
סוג הנקודות: ת"ה −2 ≤ x ≤ 2. מציבים בנגזרת מספר בכל תחום:
x = −1.5 , x = 0 , x = 1.5
y′ = √4 − x² − x²√4 − x²
y′(0) = √4 − 0 = 2 > 0
← עולה ↗
y′(1.5) = √4 − 1.5²
− 1.5²√4 − 1.5² < 0
← יורדת ↘
y′(−1.5) < 0
← יורדת ↘
ב־x = −√2 מירידה לעלייה ← מינימום.
ב־x = √2 מעלייה לירידה ← מקסימום.
בשורש גם הקצוות הם נקודות קיצון: אחרי (−2) הפונקציה יורדת ← max. לפני 2 היא יורדת ← min.
y(2) = 2√4 − 2² = 0
y(−2) = −2√4 − (−2)² = 0
תשובה: (−√2 , −2) min
(√2 , 2) max
(−2 , 0) max
(2 , 0) min
(√2 , 2) max
(−2 , 0) max
(2 , 0) min
🩷 סעיף ג: סקיצה של גרף הפונקציה
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ת"ה −2 ≤ x ≤ 2: משמאל ל־(−2) ומימין ל־2 אין גרף.
מסמנים את נקודות החיתוך:
(−2 , 0) , (0 , 0) , (2 , 0)
ואת נקודות הקיצון:
(−√2 , −2) min
−√2 ≈ −1.414
(√2 , 2) max
מחברים בקו מעוגל (פונקציית שורש מעוגלת, לא קווים ישרים).
תשובה: סקיצה שיורדת מ־(−2 , 0) למינימום, עולה דרך (0 , 0) למקסימום ויורדת ל־(2 , 0)
🟣 סעיף ד: איזה גרף הוא גרף הנגזרת f′(x)
איזה מבין הגרפים I–IV שבסוף השאלה הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)? נמק.
הקשר בין f ל־f′:
f עולה ← f′ חיובית (מעל ציר x).
f יורדת ← f′ שלילית (מתחת לציר x).
נק' קיצון של f ← נק' חיתוך של f′ עם ציר x: x = √2 , x = −√2
בגרפים II ו־III יש רק חיתוך אחד עם ציר x ← נפסלים.
בין −√2 ל־√2 הפונקציה עולה, לכן הנגזרת חיובית שם. זה קורה רק בגרף IV (בגרף I היא שלילית שם).
תשובה: גרף IV
💡 לזכור
מכפלה עם שורש: y′ = f′ · g + g′ · f. זוכרים ש־√a · √a = a, ושבשורש גם הקצוות של ת"ה הם נקודות קיצון. נקודות הקיצון של f הן החיתוכים של f′ עם ציר x.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il