מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 20 הסתברות עם דיאגרמת עץ
הסתברות · 4 יחידות · שאלון 471
📄 דף הסבר: הסתברות עם דיאגרמת עץ
מציירים את כל האפשרויות, ומכפילים לאורך המסלול
מתי משתמשים בעץ?
כשיש כמה שלבים אחד אחרי השני (בוחרים קופסה, ואז מוציאים כדור, ואז עוד כדור). כל שלב הוא פיצול בעץ, ועל כל ענף רושמים את ההסתברות שלו.
הכלל
לאורך מסלול ← ·
בין מסלולים ("או") ← +
השיטה4 צעדים לשאלה עם עץ
1בונים את העץ
כל שלב בשאלה הוא קומה בעץ. בלי החזרה ← בקומה הבאה הסה״כ קטן ב־1.
2רושמים הסתברות על כל ענף
מה שרוצים חלקי סך הכל. מכל צומת, סכום הענפים הוא 1.
3מסמנים מסלולים מתאימים
מסמנים (בצבע) את כל המסלולים שמתאימים למה ששואלים.
4כפל וחיבור
בכל מסלול כופלים את הענפים, ואז מחברים את המסלולים.
מסלול ← כפל · כמה מסלולים ← חיבור ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלה מבגרות 2015 א עם דיאגרמת עץ: בוחרים קופסה ומוציאים 2 כדורים בלי החזרה 👇
2015 א: בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו־6 כדורים ירוקים. בקופסה II יש 12 כדורים אדומים ו־4 כדורים ירוקים. בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה 2 כדורים זה אחר זה (בלי החזרה).
🟡 סעיף א: ההסתברות ש־2 הכדורים באותו צבע – דיאגרמת עץ בלי החזרה
א. מהי ההסתברות ש־2 הכדורים יהיו באותו צבע?
בונים עץ: קודם בוחרים קופסה (12 לכל אחת), אחר כך כדור ראשון, ואז כדור שני (בלי החזרה ← בקופסה I נשארים 8, בקופסה II נשארים 15). מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
י ירוק א אדום · אדום – אותו צבע
באותו צבע ← 4 מסלולים: I אדום־אדום, I ירוק־ירוק, II אדום־אדום, II ירוק־ירוק:
12 · 13 · 14 + 12 · 23 · 58
+ 12 · 34 · 1115 + 12 · 14 · 15
= 124 + 524 + 1140 + 140
= 1120
תשובה: 1120
🔵 סעיף ב: ההסתברות לצבעים שונים – בעזרת המשלים
ב. מהי ההסתברות ש־2 הכדורים יהיו בצבעים שונים?
בצבעים שונים זה המשלים של "באותו צבע":
1 − 1120 = 920
תשובה: 920
🟢 סעיף ג: הסתברות מותנת מתוך העץ – ידוע שהכדורים באותו צבע, מה ההסתברות שהם מקופסה I
ג. ידוע כי 2 הכדורים היו באותו צבע. מהי ההסתברות שהם הוצאו מקופסה I?
"ידוע" ← הסתברות מותנת. מכנה – מה שידוע (באותו צבע): 1120 מסעיף א.
מונה – מתוך המסלולים של "באותו צבע", רק אלה של קופסה I:
י ירוק א אדום · ירוק – אותו צבע (המכנה) · עיגול אדום – קופסה I (המונה)
124 + 524 = 624 = 14
141120 = 511
תשובה: 511
💡 לזכור
בעץ: לאורך מסלול כופלים, בין מסלולים מחברים. בלי החזרה ← הסה״כ קטן ב־1. בהסתברות מותנת, המונה הוא חלק מהמסלולים שבמכנה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il