מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 12 -פתרון בגרות 2022 חורף שאלון 481 4 יחידות-בעיית קיצון עם גרפים
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2022 חורף (שאלון 481) בונים מלבן מתחת לפרבולה, בין הנקודה A לישר x = 5 , ומוצאים מתי שטחו מקסימלי.
🔵 סעיף א: מציאת t שבעבורו שטח המלבן ABCD מקסימלי
נתונה הפונקציה f(x) = x² + 3 ונתון הישר x = 5 . הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון משמאל לישר. מן הנקודה A מעבירים ישר המקביל לציר ה־x וחותך את הישר הנתון בנקודה B. הנקודות C ו־D נמצאות על ציר ה־x כך שהמרובע ABCD הוא מלבן (ראה סרטוט). נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A. א. מצא את הערך של t שבעבורו שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי.
שלבי בעיית קיצון: (1) פונקציית מטרה עם נעלם אחד, (2) גוזרים ומשווים ל־0, (3) סוג הקיצון.
A נמצאת על הפרבולה, לכן מציבים t במקום x: A(t , t² + 3)
פונקציית המטרה – שטח המלבן: S = AB · AD
AB = xB − xA = 5 − t
AD = yA = t² + 3
S = (5 − t) · (t² + 3)
S = 5t² + 15 − t³ − 3t
גוזרים ומשווים ל־0:
S' = 10t − 3t² − 3 = 0
−3t² + 10t − 3 = 0
נוסחת השורשים: a = −3 , b = 10 , c = −3
t1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a
b² − 4ac = 10² − 4·(−3)·(−3)
= 100 − 36 = 64
t1,2 = −10 ± √64−6 = −10 ± 8−6
t1 = 13 , t2 = 3
סוג הקיצון – מציבים בנגזרת:
S'(0) = 10·0 − 3·0² − 3
= −3 < 0
S'(1) = 10·1 − 3·1² − 3
= 4 > 0
S'(4) = 10·4 − 3·4² − 3
= −11 < 0
| S | ↘ | min | ↗ | max | ↘ |
| S' | − | 0 | + | 0 | − |
| t | t=0 | 13 | t=1 | 3 | t=4 |
ב־t = 3 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה – מקסימום (ב־13 יש מינימום, ואותו לא מבקשים).
תשובה: t = 3 (max)
🟢 סעיף ב: האם ייתכן מלבן ABCD ששטחו 30? (השטח המקסימלי)
ב. האם ייתכן מלבן ABCD שנבנה באופן המתואר ושטחו הוא 30? נמק.
בודקים מהו השטח המקסימלי – מציבים t = 3 בפונקציית השטח:
S = 5t² + 15 − t³ − 3t
S = 5·3² + 15 − 3³ − 3·3
S = 45 + 15 − 27 − 9 = 24
השטח הגדול ביותר שאפשר לקבל הוא 24, ו־30 גדול ממנו.
תשובה: לא, כיוון שהשטח המקסימלי הוא 24
💡 לזכור
כששואלים "האם ייתכן שטח של…" – מחשבים את השטח המקסימלי (או המינימלי) ומשווים אליו: מעל המקסימום – לא ייתכן.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il