מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 9: חפיפת משולשים: משפט ז.צ.ז
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 3 · חפיפת משולשים · שיעור 9
📄 דף הסבר: חפיפת משולשים: משפט ז.צ.ז
שתי זוויות והצלע שביניהן – ושימושים בהוכחות
חפיפת משולשים: ז.צ.ז
∢B = ∢E ← זווית
BC = EF ← הצלע שבין שתי הזוויות
∢C = ∢F ← זווית
△ABC ≅ △DEF ← ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 📐 משפט חפיפה ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן שוות ← המשולשים חופפים
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן ← המשולשים חופפים ✅
✏️ תרגילים
ארבעה תרגילים: הוכחה עם מקבילים, הוכחת משפט הפוך, תרגיל עם משוואה ותרגיל מורכב. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: ז.צ.ז עם מקבילים · בינוני
הקטעים AD ו־BC נחתכים בנקודה O. נתון: AB ∥ CD , AO = OD
הוכיחו: AB = DC ו־BO = OC
הוכיחו: AB = DC ו־BO = OC
AB ∥ CD , AO = OD ← נתון
∢A = ∢D ← בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות (החותך AD)
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
AO = OD ← נתון (הצלע שבין הזוויות)
∢AOB = ∢DOC ← זוויות קדקודיות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
△AOB ≅ △DOC ← ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
AB = DC ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
BO = OC ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = DC , BO = OC
🟢 תרגיל 2: הוכחת משפט הפוך משיעור 6
במשולש ABC הקטע AD חוצה את ∢A וגם גובה ל־BC
הוכיחו בעזרת חפיפה: AB = AC
הוכיחו בעזרת חפיפה: AB = AC
AD חוצה את ∢A , AD ⊥ BC ← נתון
∢BAD = ∢CAD ← AD חוצה זווית
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
AD = AD ← צלע משותפת (בין שתי הזוויות)
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
∢ADB = ∢ADC = 90 ← AD גובה
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
△ABD ≅ △ACD ← ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
AB = AC ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = AC – המשולש שווה שוקיים
🟣 תרגיל 3: חפיפה ומשוואה · קל
נתון: ∢B = ∢E , BC = EF , ∢C = ∢F
AB = 3y − 1 , DE = 2y + 4. מצאו את y ואת AB
AB = 3y − 1 , DE = 2y + 4. מצאו את y ואת AB
∢B = ∢E , BC = EF , ∢C = ∢F ← נתון
△ABC ≅ △DEF ← ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
AB = DE ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
3y − 1 = 2y + 4 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
3y − 2y = 4 + 1 ⟹ y = 5 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
AB = 3 · 5 − 1 = 14 , DE = 2 · 5 + 4 = 14 ✔ ← מציבים y = 5
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: y = 5 , AB = DE = 14
🔷 תרגיל 4: מורכב: שתי חפיפות בשרטוט אחד
במשולש ABC: AB = AC. D על AB ו־E על AC, ונתון ∢ABE = ∢ACD
הוכיחו: BE = CD , וגם המשולש ADE שווה שוקיים
הוכיחו: BE = CD , וגם המשולש ADE שווה שוקיים
מסתכלים על המשולשים ABE ו־ACD
∢A = ∢A ← זווית משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
AB = AC ← נתון (צלע)
∢ABE = ∢ACD ← נתון (זווית)
△ABE ≅ △ACD ← ז.צ.ז: הצלע AB / AC בין שתי הזוויות
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
BE = CD ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
AE = AD ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
△ADE שווה שוקיים ← שתי צלעות שוות
📐 הגדרה: משולש שווה שוקיים: שתי צלעות שוות (השוקיים). הצלע השלישית היא הבסיס
✅ פתרון סופי: הוכחנו: BE = CD , AD = AE
💡 לזכור
אם יש לנו זוויות שוות ממקבילים או מזוויות קדקודיות – לרוב משתמשים ב־ז.צ.ז.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il