מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
תרגול משולב – משפט תאלס
📽️ סרטון – בקרוב
הסרטון של השיעור יעלה בקרוב.
תרגול משולב – משפט תאלס
📘 מה לומדים
בשיעור הזה משלבים את כל מה שלמדנו:
ABBD = ACCE📐 משפט תאלסישרים מקבילים ← קטעים פרופורציוניים
ADAB = AEAC = DEBC📐 תאלס המורחבכולל הקטע המקביל
ADDB = AEEC ⟹ DE ∥ BC📐 המשפט ההפוךקטעים פרופורציוניים ← מקבילים
💡 שאלה לפני כל תרגיל: נתון שהישרים מקבילים? ← תאלס. צריך להוכיח שהם מקבילים? ← המשפט ההפוך.
📄 תרגיל 1 – מציאת קטעים
במשולש ABC: DE ∥ BC. נתון: AB = 12 , AC = 15 , AD = 4.
מצאו את AE ואת EC.
פתרון תרגיל 1
AEAC = ADAB📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב AC = 15 , AD = 4 , AB = 12:
AE15 = 412
12 · AE = 15 · 4📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
12 · AE = 60
AE = 5
EC = AC − AE = 15 − 5 = 10
✅ פתרון סופי: AE = 5 , EC = 10
📄 תרגיל 2 – הוכחה ואז חישוב
במשולש ABC: AD = 6 , DB = 3 , AE = 8 , EC = 4 , BC = 18.
א. הוכיחו ש־DE ∥ BC.
ב. מצאו את DE.
פתרון סעיף א
ADDB = 63 = 2
AEEC = 84 = 2
ADDB = AEEC📐 המשפט ההפוךADDB = AEEC ⟹ DE ∥ BC
✅ פתרון סופי: DE ∥ BC
פתרון סעיף ב
AB = AD + DB = 6 + 3 = 9
DEBC = ADAB📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב BC = 18 , AD = 6 , AB = 9:
DE18 = 69
9 · DE = 18 · 6📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
9 · DE = 108
DE = 12
✅ פתרון סופי: DE = 12
📄 תרגיל 3 – טרפז
בטרפז ABCD (AB ∥ DC) הישר EF מקביל לבסיסים. הנקודה E על AD והנקודה F על BC.
נתון: AE = 4 , ED = 6 , BF = 5. מצאו את FC.
רמז: העבירו את האלכסון AC, שחותך את EF בנקודה G.
פתרון תרגיל 3
במשולש ACD: EG ∥ DC, לכן לפי תאלס המורחב:
AEED = AGGC📐 תאלס המורחבAEED = AGGC
במשולש CAB: GF ∥ AB, לכן:
AGGC = BFFC📐 תאלס המורחבAGGC = BFFC
שני היחסים שווים ל־AGGC, לכן:
AEED = BFFC
נציב AE = 4 , ED = 6 , BF = 5:
46 = 5FC
4 · FC = 6 · 5📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
4 · FC = 30
FC = 7.5
✅ פתרון סופי: FC = 7.5
📄 תרגיל 4 – שעון חול עם x
הישרים BD ו־CE נחתכים בנקודה A, ו־DE ∥ BC.
נתון: AD = x , AB = x + 3 , AE = 4 , AC = 6 , DE = 5.
א. מצאו את x.
ב. מצאו את BC.
פתרון סעיף א
ADAB = AEAC📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב את הנתונים:
xx + 3 = 46
6x = 4(x + 3)📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
6x = 4x + 12
2x = 12
x = 6
✅ פתרון סופי: x = 6
פתרון סעיף ב
AD = 6 , AB = 6 + 3 = 9
DEBC = ADAB📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב DE = 5 , AD = 6 , AB = 9:
5BC = 69
6 · BC = 5 · 9📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
6 · BC = 45
BC = 7.5
✅ פתרון סופי: BC = 7.5
📄 תרגיל 5 – שני ישרים מקבילים
במשולש ABC הנקודה D על AB כך ש־AD : DB = 1 : 2. דרך D העבירו ישר מקביל ל־BC שחותך את AC בנקודה E. דרך E העבירו ישר מקביל ל־AB שחותך את BC בנקודה F. נתון: BC = 12.
א. מצאו את DE.
ב. מצאו את BF ואת FC.
פתרון סעיף א
לפי כלל 2 (חלק חלקי השלם):
ADAB = 11 + 2 = 13
DEBC = ADAB📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב BC = 12 , ADAB = 13:
DE12 = 13
3 · DE = 12📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
DE = 4
✅ פתרון סופי: DE = 4
פתרון סעיף ב
במרובע DBFE: DE ∥ BF ו־EF ∥ DB, לכן הוא מקבילית.
במקבילית צלעות נגדיות שוות:
BF = DE = 4
FC = BC − BF = 12 − 4 = 8
✅ פתרון סופי: BF = 4 , FC = 8
📌 סיכום
| נתון שמקבילים | משפט תאלס / תאלס המורחב |
|---|---|
| צריך להוכיח מקבילים | המשפט ההפוך |
| טרפז | מעבירים אלכסון ומשתמשים פעמיים בתאלס |
| שעון חול | ADAB = AEAC = DEBC |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il