מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
המשפט ההפוך למשפט תאלס
📽️ סרטון – בקרוב
הסרטון של השיעור יעלה בקרוב.
המשפט ההפוך למשפט תאלס
📘 מה לומדים
עד עכשיו ידענו שהישרים מקבילים ומצאנו קטעים. המשפט ההפוך הולך בכיוון השני: אם הקטעים פרופורציוניים – הישרים מקבילים.
ADDB = AEEC📐 משפט הפוך למשפט תאלסשני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים, הם ישרים מקבילים
איך בודקים אם DE ∥ BC?
1. מחשבים את ADDB ואת AEEC (כל אחד בנפרד).
2. אם יצא אותו מספר ← DE ∥ BC. אם לא ← הישרים לא מקבילים.
💡 אפשר לבדוק גם עם ADAB ו־AEAC – זה אותו דבר.
📄 תרגיל 1 – האם הישרים מקבילים?
במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC.
נתון: AD = 4 , DB = 6 , AE = 6 , EC = 9. האם DE ∥ BC?
פתרון תרגיל 1
נחשב כל יחס בנפרד:
ADDB = 46 = 23
AEEC = 69 = 23
היחסים שווים, לכן:
ADDB = AEEC📐 המשפט ההפוךADDB = AEEC ⟹ DE ∥ BC
✅ פתרון סופי: כן, DE ∥ BC
📄 תרגיל 2 – בדיקה שלא מצליחה
באותו מבנה נתון: AD = 5 , DB = 4 , AE = 6 , EC = 5. האם DE ∥ BC?
פתרון תרגיל 2
ADDB = 54 = 1.25
AEEC = 65 = 1.2
1.25 ≠ 1.2
הקטעים אינם פרופורציוניים, לכן הישר DE אינו מקביל ל־BC.
✅ פתרון סופי: לא, DE אינו מקביל ל־BC
📄 תרגיל 3 – קודם מקביל, אחר כך אורך
במשולש ABC: AD = 3 , AB = 9 , AE = 4 , AC = 12 , BC = 15.
א. הוכיחו ש־DE ∥ BC.
ב. מצאו את DE.
פתרון סעיף א
ADAB = 39 = 13
AEAC = 412 = 13
היחסים שווים, לכן לפי המשפט ההפוך:
DE ∥ BC📐 המשפט ההפוךADAB = AEAC ⟹ DE ∥ BC
✅ פתרון סופי: DE ∥ BC
פתרון סעיף ב
עכשיו מותר להשתמש בתאלס המורחב (הוכחנו ש־DE ∥ BC):
DEBC = ADAB📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב BC = 15 , AD = 3 , AB = 9:
DE15 = 39
9 · DE = 15 · 3📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
9 · DE = 45
DE = 5
✅ פתרון סופי: DE = 5
📄 תרגיל 4 – הוכחה: קטע אמצעים
במשולש ABC הנקודה D היא אמצע AB והנקודה E היא אמצע AC.
הוכיחו בעזרת המשפט ההפוך ש־DE ∥ BC.
הוכחה
1. AD = DB (D אמצע AB) ← ADDB = 1
2. AE = EC (E אמצע AC) ← AEEC = 1
3. שני היחסים שווים ל־1:
ADDB = AEEC📐 המשפט ההפוךADDB = AEEC ⟹ DE ∥ BC
4. לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס: DE ∥ BC
✅ פתרון סופי: DE ∥ BC
📄 תרגיל 5 – מתי הישרים מקבילים?
במשולש ABC: AD = 6 , DB = x , AE = 8 , EC = x + 2.
מצאו את x שעבורו DE ∥ BC.
פתרון תרגיל 5
כדי ש־DE ∥ BC היחסים צריכים להיות שווים:
ADDB = AEEC📐 המשפט ההפוךADDB = AEEC ⟹ DE ∥ BC
נציב את הנתונים:
6x = 8x + 2
6(x + 2) = 8x📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
6x + 12 = 8x
12 = 2x
x = 6
✅ פתרון סופי: x = 6
📄 תרגיל 6 – מקבילית בתוך משולש
במשולש ABC הנקודות D, E, F נמצאות על הצלעות AB, AC, BC.
נתון: AD = 2 , DB = 3 , AE = 4 , EC = 6 , BF = 4 , FC = 6.
א. הוכיחו ש־DE ∥ BC.
ב. הוכיחו ש־EF ∥ AB.
ג. הוכיחו שהמרובע DBFE הוא מקבילית.
פתרון סעיף א
ADDB = 23
AEEC = 46 = 23
ADDB = AEEC📐 המשפט ההפוךADDB = AEEC ⟹ DE ∥ BC
✅ פתרון סופי: DE ∥ BC
פתרון סעיף ב
הפעם הזווית היא C, והשוקים שלה הן CA ו־CB:
CEEA = 64 = 32
CFFB = 64 = 32
CEEA = CFFB📐 המשפט ההפוךCEEA = CFFB ⟹ EF ∥ AB
✅ פתרון סופי: EF ∥ AB
פתרון סעיף ג
במרובע DBFE:
DE ∥ BF (סעיף א, BF חלק מ־BC)
EF ∥ DB (סעיף ב, DB חלק מ־AB)
מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.
✅ פתרון סופי: DBFE מקבילית
📌 סיכום
| המשפט ההפוך | קטעים פרופורציוניים על שוקי זווית ← הישרים מקבילים |
|---|---|
| איך בודקים | מחשבים ADDB ו־AEEC בנפרד ומשווים |
| יצא שווה | DE ∥ BC |
| יצא שונה | הישרים לא מקבילים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il