קיץ 2023 מועד א – שאלה 4

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 4

📄 נוסח השאלה

הנקודות A , B ו־C נמצאות על מעגל.

הנקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

בנקודה E מעבירים משיק למעגל.

המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G.

המיתרים AE ו־BC נחתכים בנקודה F.

המעגל והמשיק בנקודה E – סרטוט מתוך השאלון

א. הוכיחו: △ACE ∼ △AEG.

נתון: AE = 3√6 , AG = 6.

ב. חשבו את אורך המיתר AC.

ג. הוכיחו: BC ∥ GE.

נתון: שטח המשולש ABF גדול פי 2 משטח המשולש BFE.

ד. חשבו את אורך המיתר AB.

ה. מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון המשולשים

E אמצע הקשת BC, ולכן הקשתות BE ו־EC שוות, והזוויות ההיקפיות הנשענות עליהן שוות:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות – שוות

∢CAE = ∢EAG

הזווית בין המשיק EG למיתר EA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

∢AEG = ∢ACE

לכן לפי משפט דמיון ז.ז.:

✅ פתרון סופי: הוכח: △ACE ∼ △AEG

סעיף ב – אורך AC

מהדמיון בסעיף א:📐 דמיון משולשיםיחס הצלעות המתאימות שווה

ACAE = AEAG

AC = AE²AG = (3√6)²6 = 546 = 9

✅ פתרון סופי: AC = 9

סעיף ג – BC ∥ GE

קשתות שוות נשענות על מיתרים שווים: BE = EC, ולכן המשולש BEC שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות

∢EBC = ∢ECB

הזווית בין המשיק EG למיתר EB:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

∢GEB = ∢ECB

∢GEB = ∢EBC

אלה זוויות מתחלפות שוות בין הישרים GE ו־BC:📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות שוות – הישרים מקבילים

✅ פתרון סופי: הוכח: BC ∥ GE

סעיף ד – אורך AB

למשולשים ABF ו־BFE יש גובה משותף מ־B לישר AE, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 שטחי משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים

AFFE = 2

AFAE = 23

במשולש AGE: BF ∥ GE (סעיף ג):📐 משפט תאלס המורחבישר המקביל לצלע מקצה על שתי הצלעות קטעים פרופורציוניים

ABAG = AFAE = 23

AB = 23 · 6 = 4

✅ פתרון סופי: AB = 4

סעיף ה – יחס השטחים ABF ו־AFC

למשולשים ABF ו־AFC יש גובה משותף מ־A לישר BC:📐 שטחי משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים

S_ABFS_AFC = BFFC

AF חוצה את הזווית BAC (סעיף א):📐 משפט חוצה הזוויתחוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה

BFFC = ABAC = 49

✅ פתרון סופי: 49

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכח: △ACE ∼ △AEG
סעיף ב	AC = 9
סעיף ג	הוכח: BC ∥ GE
סעיף ד	AB = 4
סעיף ה	49

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

קיץ 2023 מועד א – שאלה 4