שיעור 23 – תרגילים נוספים: משוואות ריבועיות עם מכנים (ללא סרטון)

טכניקה אלגברית · משוואות ריבועיות עם מכנים · שיעור 23 · ללא סרטון

📝 תרגילים נוספים – משוואות ריבועיות עם מכנים

תחום הגדרה, כפל במכנה המשותף, ופסילת פתרונות

📌 תרגילים ללא סרטון: קודם כל התרגילים, ואחריהם פתרון מלא לכל תרגיל

איך מתרגלים?

מעתיקים את התרגילים למחברת ופותרים לבד.
רק אחר כך יורדים לפתרונות המלאים ומשווים.
יצא משהו אחר? מחפשים את השלב הראשון שבו הפתרון שלכם שונה.

✏️ התרגילים

שישה תרגילים. בכל אחד מתחילים בתחום ההגדרה, ובסוף בודקים שכל פתרון נמצא בתחום. בתרגיל האחרון יש הפתעה.

1פתרו: x + 8x = 6 קל

2פתרו: 12x − 1 = x + 3 קל

3פתרו: 2x − 1 = 3x בינוני

4פתרו: xx − 2 + 3x = 2 בינוני

5פתרו: xx + 3 − 3x − 3 = 18x² − 9 מאתגר

6פתרו: x + 2x − 3 − 30x² − 9 = 1 מאתגר

📖 פתרונות מלאים

🔵 תרגיל 1: x + 8x = 6

פתרו: x + 8x = 6📖 פתרון מלא:

תחום הגדרה: x ≠ 0📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

המכנה הוא x. כופלים כל איבר ב־x:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

x · x + x · 8x = 6 · x

x² + 8 = 6x

x² − 6x + 8 = 0📐 העברת אגפיםax = bx + c ⟹ ax − bx = c

מה כפול מה שווה 8, ומה ועוד מה שווה −6? (−2) · (−4) = 8 , (−2) + (−4) = −6

(x − 2)(x − 4) = 0📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

x = 2 או x = 4. שניהם שונים מ־0 ✓📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0

בדיקה: 2 + 82 = 2 + 4 = 6 ✓ , 4 + 84 = 4 + 2 = 6 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2 או x = 4

🟣 תרגיל 2: 12x − 1 = x + 3

פתרו: 12x − 1 = x + 3📖 פתרון מלא:

תחום הגדרה: x − 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ 1📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

כופלים את שני האגפים ב־(x − 1):📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

12 = (x + 3)(x − 1)

12 = x² − x + 3x − 3📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

12 = x² + 2x − 3📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

0 = x² + 2x − 15📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

מה כפול מה שווה −15, ומה ועוד מה שווה 2? 5 · (−3) = −15 , 5 + (−3) = 2

(x + 5)(x − 3) = 0📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

x = −5 או x = 3. שניהם שונים מ־1 ✓📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0

בדיקה: 12−6 = −2 , −5 + 3 = −2 ✓ ; 122 = 6 , 3 + 3 = 6 ✓

✅ פתרון סופי: x = −5 או x = 3

🟢 תרגיל 3: 2x − 1 = 3x

פתרו: 2x − 1 = 3x📖 פתרון מלא:

תחום הגדרה: x ≠ 0📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

כופלים את שני האגפים ב־x:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

x(2x − 1) = 3 ⟹ 2x² − x = 3📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

2x² − x − 3 = 0📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

המקדם של x² הוא 2, ולכן משתמשים בנוסחת השורשים:

a = 2 , b = −1 , c = −3

b² − 4ac = (−1)² − 4 · 2 · (−3)

= 1 + 24 = 25📐 חוק הסימנים בכפל−a · (−b) = ab

x = 1 ± 52 · 2 = 1 ± 54📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b² − 4ac2a

x₁ = 1 + 54 = 64 = 32

x₂ = 1 − 54 = −44 = −1

שני הפתרונות שונים מ־0 ✓

בדיקה: 2 · 32 − 1 = 2 , 3 : 32 = 2 ✓ ; 2 · (−1) − 1 = −3 , 3−1 = −3 ✓

✅ פתרון סופי: x = 32 או x = −1

🔵 תרגיל 4: xx − 2 + 3x = 2

פתרו: xx − 2 + 3x = 2📖 פתרון מלא:

תחום הגדרה: x ≠ 0 , x − 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

המכנה המשותף הוא x(x − 2). כופלים כל איבר בו ומצמצמים:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

x · x + 3(x − 2) = 2x(x − 2)

x² + 3x − 6 = 2x² − 4x📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

מעבירים הכול לאגף השני, כדי שהמקדם של x² יישאר חיובי:

0 = 2x² − x² − 4x − 3x + 6📐 העברת אגפיםax = bx + c ⟹ ax − bx = c

0 = x² − 7x + 6📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

מה כפול מה שווה 6, ומה ועוד מה שווה −7? (−1) · (−6) = 6 , (−1) + (−6) = −7

(x − 1)(x − 6) = 0📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

x = 1 או x = 6. שניהם שונים מ־0 ומ־2 ✓📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0

בדיקה: 1−1 + 3 = −1 + 3 = 2 ✓ , 64 + 36 = 32 + 12 = 2 ✓

✅ פתרון סופי: x = 1 או x = 6

🟣 תרגיל 5: xx + 3 − 3x − 3 = 18x² − 9

פתרו: xx + 3 − 3x − 3 = 18x² − 9📖 פתרון מלא:

מפרקים את המכנה באגף השני:

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)📐 הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

תחום הגדרה: x ≠ 3 , x ≠ −3📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

המכנה המשותף הוא (x − 3)(x + 3). כופלים כל איבר ומצמצמים:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

x(x − 3) − 3(x + 3) = 18

x² − 3x − 3x − 9 = 18📐 מינוס לפני סוגריים−a(b + c) = −ab − ac

x² − 6x − 9 = 18📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

x² − 6x − 27 = 0📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

מה כפול מה שווה −27, ומה ועוד מה שווה −6? (−9) · 3 = −27 , (−9) + 3 = −6

(x − 9)(x + 3) = 0📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

x = 9 או x = −3

x = −3 אסור לפי תחום ההגדרה ← נפסל.📐 פסילת פתרוןפתרון שמאפס מכנה נפסל

בדיקה: 912 − 36 = 34 − 12 = 14 , 1881 − 9 = 1872 = 14 ✓

✅ פתרון סופי: x = 9

🟢 תרגיל 6: x + 2x − 3 − 30x² − 9 = 1

פתרו: x + 2x − 3 − 30x² − 9 = 1📖 פתרון מלא:

מפרקים את המכנה של השבר השני:

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)📐 הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

תחום הגדרה: x ≠ 3 , x ≠ −3📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

המכנה המשותף הוא (x − 3)(x + 3). כופלים כל איבר, גם את 1:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

(x + 2)(x + 3) − 30 = (x − 3)(x + 3)

(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

(x − 3)(x + 3) = x² − 9📐 הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

x² + 5x + 6 − 30 = x² − 9

מחסרים x² משני האגפים, והמשוואה נהיית פשוטה:

5x − 24 = −9📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

5x = −9 + 24 = 15📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

x = 155 = 3📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

אבל x = 3 אסור לפי תחום ההגדרה (הוא מאפס את המכנה) ← נפסל.📐 פסילת פתרוןפתרון שמאפס מכנה נפסל

לא נשאר אף פתרון, ולכן למשוואה אין פתרון.

✅ פתרון סופי: אין פתרון

💡 לזכור

תחום הגדרה לפני הכול. כופלים במכנה המשותף את כל האיברים, גם מספר בלי מכנה. פתרון שמאפס מכנה נפסל, ואם כל הפתרונות נפסלו, אין פתרון ✅

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים