מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 18-פתרון בגרות 2021 מועד א-חקירת שורש
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת חקירת פונקציית שורש מבגרות 382, 2021 מועד א: תחום הגדרה, נקודת קיצון פנימית, תחומי עלייה וירידה, זיהוי הגרף ונקודה שבה שיפוע המשיק נתון, עבור f(x) = 2x − 6√x + 7 👇
🔷 סעיף א: תחום הגדרה של f(x) = 2x − 6√x + 7
נתונה הפונקציה f(x) = 2x − 6√x + 7. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?
אין מכנה, לכן בודקים רק את השורש: מה שבתוך השורש גדול שווה 0.
x ≥ 0
תשובה: ת"ה: x ≥ 0
🔵 סעיף ב: נקודת הקיצון הפנימית של פונקציית השורש וסוגה
מצא את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
נגזרת של שורש (מהנוסחאון):
a · √x′ = 1 · a2√x
גוזרים ומשווים ל־0:
f′(x) = 2 − 6 · 12√x = 0
מצמצמים 6 עם 2:
2 − 3√x = 0 / +3√x
כפל בהצלבה:
21 = 3√x
2√x = 3 / :2
√x = 1.5 ← מעלים בריבוע
x = 2.25
העלינו בריבוע, לכן בדיקה:
√2.25 = 1.5 ✓
y בפונקציה המקורית:
f(2.25) = 2 · 2.25
− 6√2.25 + 7
y = 4.5 − 9 + 7 = 2.5
סוג הנקודה: ת"ה x ≥ 0, לכן מציבים בנגזרת מספר בין 0 ל־2.25 (x = 1) ומספר אחרי 2.25 (x = 4):
f′(1) = 2 − 3√1 = −1 < 0 ↘
f′(4) = 2 − 3√4 = 2 − 32
= 2 − 1.5 = 12 > 0 ↗
יורדת ואחר כך עולה ← מינימום.
תשובה: (2.25 , 2.5) min
🟢 סעיף ג: תחומי עלייה וירידה
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
לפי החצים בטבלה מסעיף ב (רק בתוך ת"ה):
בין 0 ל־2.25 הנגזרת שלילית ← ירידה.
אחרי 2.25 הנגזרת חיובית ← עלייה.
תשובה: עלייה: x > 2.25
ירידה: 0 < x < 2.25
ירידה: 0 < x < 2.25
🩷 סעיף ד: איזה גרף מתאר את הפונקציה
איזה מבין הגרפים I, II, III, IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הפונקציה f(x)? נמק.
מצאנו מינימום (2.25 , 2.5): ה־y שלו חיובי.
בגרף IV ה־y של המינימום שלילי ← לא מתאים.
בגרפים I ו־II הנקודה היא מקסימום ← לא מתאים.
נשאר גרף III: מינימום, וה־y חיובי.
תשובה: גרף III
🟣 סעיף ה: הנקודה שבה שיפוע המשיק הוא 1
מצא את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה f(x) שבעבורה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא 1.
שיפוע המשיק = נגזרת בנקודת ההשקה. נתון m = 1, לכן:
2 − 3√x = 1 / −1
1 − 3√x = 0 / +3√x
כפל בהצלבה:
11 = 3√x
√x = 3 ← מעלים בריבוע
x = 9
בדיקה:
√9 = 3 ✓
y בפונקציה המקורית:
f(9) = 2 · 9 − 6√9 + 7
= 18 − 18 + 7 = 7
תשובה: (9 , 7)
💡 לזכור
משיק עם שיפוע נתון: משווים את הנגזרת לשיפוע ופותרים. אחרי העלאה בריבוע עושים בדיקה, ואת y מוצאים תמיד בפונקציה המקורית.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il