מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 49 – בגרות 571 חורף 2026, שאלה 5
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2026, שאלה 5
פתרון מלא
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD (AB = AD , CB = CD).
נתון: ∢BAD = ∢CDB = 2t , 0 < t < 45 (במעלות; בשאלון הזווית מסומנת באות אחרת).
נסמן: AB = k.
א. הביעו באמצעות k ו־t את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.
נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD גדול פי 43 מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.
ב. מצאו את גודל הזווית BAD.
הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD.
דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל ל־BD וחותך את המשך הצלע CD בנקודה E.
נתון כי שטח המשולש AOE הוא 70.
ג. מצאו את הערך של k.
✏️ פתרון
סעיף א – רדיוס המעגל החוסם את CDB
האלכסון BD. במשולש שווה השוקיים ABD (AB = AD = k) נוריד גובה מ־A לבסיס BD. בדלתון הגובה הזה הוא האלכסון AC; הוא חוצה את זווית הראש ואת הבסיס: הזווית ליד A היא t, וחצי הבסיס מול זווית זו.
BD2 = AB · sin t📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin∢ = aca – ניצב מול הזווית, c – היתר
נציב AB = k:
BD2 = k · sin t
BD = 2k sin t
הזווית BCD. במשולש CDB (CB = CD) זוויות הבסיס שוות: ∢CDB = ∢CBD = 2t:
∢BCD = 180 − ∢CDB − ∢CBD📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
נציב ∢CDB = ∢CBD = 2t:
∢BCD = 180 − 2t − 2t = 180 − 4t
משפט הסינוסים במשולש CDB (הצלע BD מול הזווית C):
BDsin∢BCD = 2RCDB📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
נציב BD = 2k sin t ו־∢BCD = 180 − 4t:
2k sin tsin(180 − 4t) = 2RCDB
2k sin tsin 4t = 2RCDB📐 זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x
RCDB = k sin tsin 4t
✅ פתרון סופי: R = k sin tsin 4t
סעיף ב – הזווית BAD
רדיוס המעגל החוסם את ABD – משפט הסינוסים (BD מול הזווית A = 2t):
BDsin∢BAD = 2RABD📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
נציב BD = 2k sin t ו־∢BAD = 2t:
2k sin tsin 2t = 2RABD
RABD = k sin tsin 2t📐 סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t · cos t
נציב sin 2t = 2 sin t cos t:
RABD = k sin t2 sin t cos t = k2cos t
לפי הנתון:
RABD = 43 · RCDB
נציב את שני הרדיוסים שמצאנו:
k sin tsin 2t = 43 · k sin tsin 4t
נחלק ב־k sin t (חיובי) ונהפוך:
sin 4tsin 2t = 43
נכתוב 4t = 2 · 2t ונציב sin 4t = 2 sin 2t cos 2t, כדי שנוכל לצמצם ב־sin 2t:
2 sin 2t cos 2tsin 2t = 43📐 סינוס של זווית כפולהsin 4t = 2 sin 2t · cos 2t
2cos 2t = 43
cos 2t = 23
0 < 2t < 90, ולכן:
2t ≈ 48.19
∢BAD = 2t ≈ 48.19
✅ פתרון סופי: ∢BAD ≈ 48.19 מעלות
סעיף ג – הערך של k
הקטע AO. O הוא מרכז המעגל החוסם את ABD, ולכן AO = RABD = k2cos t. המרכז נמצא על האנך האמצעי של BD, כלומר על האלכסון AC.
הזווית OAE. AC ⊥ BD (אלכסוני דלתון מאונכים), ו־AE ∥ BD, ולכן AE ⊥ AC: ∢OAE = 90.
המשולש ADE. ∢DAC = t (האלכסון חוצה את ∢BAD), ולכן:
∢DAE = ∢OAE − ∢DAC
נציב ∢OAE = 90 ו־∢DAC = t:
∢DAE = 90 − t
AE ∥ BD והישר CE חותך אותם, ולכן זוויות מתאימות שוות:
∢AED = ∢CDB = 2t📐 זוויות מתאימותבין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢ADE = 180 − ∢DAE − ∢AED📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
נציב ∢DAE = 90 − t ו־∢AED = 2t:
∢ADE = 180 − (90 − t) − 2t
∢ADE = 90 − t
משפט הסינוסים במשולש ADE (AE מול ∢ADE, ו־AD = k מול ∢AED):
AEsin∢ADE = ADsin∢AED📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
נציב ∢ADE = 90 − t , AD = k ו־∢AED = 2t:
AEsin(90 − t) = ksin 2t
AE = k · sin(90 − t)sin 2t
לפי הזהויות sin(90 − t) = cos t ו־sin 2t = 2 sin t cos t:
AE = k cos t2 sin t cos t📐 סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t · cos t
AE = k2 sin t
השטח (משולש ישר זווית, הניצבים AO ו־AE):
SAOE = AO · AE2📐 שטח משולשS = a · h2
נציב AO = k2cos t ו־AE = k2 sin t:
SAOE = 12 · k2cos t · k2 sin t
SAOE = k28 sin t cos t
נכתוב 8 sin t cos t = 4 · 2 sin t cos t = 4 sin 2t, כדי להגיע לזווית 2t שאותה אנחנו מכירים:
SAOE = k24 sin 2t
sin 2t = √1 − cos 2t2
נציב cos 2t = 23:
sin 2t = √1 − (23)2 = √1 − 49 = √53📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
נציב sin 2t = √53:
SAOE = k24 · √53 = 3k24√5
נציב SAOE = 70 (נתון):
3k24√5 = 70
k2 = 280√53 ≈ 208.70
k ≈ 14.45
בסרטוט (בקנה מידה): המשולש AOE בתכלת והמעגל החוסם את ABD בירוק מקווקו.
✅ פתרון סופי: k ≈ 14.45
📌 סיכום
| סעיף א | R = k sin tsin 4t |
|---|---|
| סעיף ב | ∢BAD ≈ 48.19 מעלות |
| סעיף ג | k ≈ 14.45 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il