שיעור 50 – בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 5

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 5
פתרון מלא

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∢ABC = 90 מעלות). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש־AC הוא חוצה זווית BAD.

נסמן: AB = k, ואת הזווית ∢CAB (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נכתוב ∢CAB).

א. הביעו באמצעות k ו־∢CAB את האורך של AC.

נתון: CD = √3.25 · k , AD = 1.5 · k.

ב. חשבו את הערך של ∢CAB.

הציבו ∢CAB = 60 מעלות וענו על סעיפים ג–ד. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC.

ג. הביעו באמצעות k את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. נתון: ME = 4.

ד. מצאו את k.

✏️ פתרון

סעיף א – האורך AC

במשולש ישר הזווית ABC: AC היתר, ו־AB = k הניצב ליד הזווית ∢CAB.

cos∢CAB = ABAC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

נציב AB = k:

cos∢CAB = kAC

AC = kcos∢CAB

✅ פתרון סופי: AC = kcos∢CAB

סעיף ב – גודל הזווית

AC חוצה את ∢BAD, ולכן ∢CAD = ∢CAB.

נוריד גובה CH מ־C לצלע AD. נקבל משולש ישר זווית ACH שבו AC היתר:

AH = AC · cos∢CAB📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

נציב AC = kcos∢CAB:

AH = kcos∢CAB · cos∢CAB = k

CH = AC · sin∢CAB📐 נוסחה: tantan = sincos

נציב AC = kcos∢CAB:

CH = kcos∢CAB · sin∢CAB = k · sin∢CABcos∢CAB

CH = k · tan∢CAB

AH = k < 1.5k = AD, לכן H בין A ל־D:

HD = AD − AH

נציב AD = 1.5k ו־AH = k:

HD = 1.5k − k = 0.5k

CD² = CH² + HD²📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש CHDa² + b² = c²

נציב CH = k · tan∢CAB , HD = 0.5k ו־CD² = 3.25k²:

3.25k² = (k · tan∢CAB)² + (0.5k)²

3.25k² = k² tan²∢CAB + 0.25k²

tan²∢CAB = 3.25 − 0.25 = 3

tan∢CAB = √3 (זווית חדה)

∢CAB = 60 מעלות

✅ פתרון סופי: ∢CAB = 60 מעלות

סעיף ג – רדיוס המעגל החסום

עבור ∢CAB = 60 מעלות: AC = kcos60 = 2k ו־BC = AB · tan60 = √3k.

נסמן ב־r את רדיוס המעגל החסום. נקודות ההשקה על הניצבים יוצרות עם B ו־M ריבוע (כי ∢B = 90 מעלות והרדיוסים מאונכים למשיקים), ולכן קטעי המשיקים מ־B שווים ל־r.

קטעי המשיקים: מ־A – k − r, מ־C – √3k − r.📐 משפטשני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה

נסמן ב־T את נקודת ההשקה על היתר. היתר AC מורכב משני קטעי משיקים (מ־A ומ־C):

AT + TC = AC

נציב AT = k − r , TC = √3k − r ו־AC = 2k:

(k − r) + (√3k − r) = 2k

2r = √3k − k

r = (√3 − 1)k2 ≈ 0.366k

✅ פתרון סופי: r = (√3 − 1)k2

סעיף ד – מציאת k

המשולש ישר זווית, ולכן מרכז המעגל החוסם E הוא אמצע היתר AC: AE = AC2 = k.📐 משפטבמשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר

נסמן ב־T את נקודת ההשקה של המעגל החסום על AC. קטע המשיק מ־A הוא AT = k − r, ולכן:

TE = AE − AT

נציב AE = k ו־AT = k − r:

TE = k − (k − r) = r

MT ⊥ AC (רדיוס לנקודת השקה), ולכן המשולש MTE ישר זווית עם ניצבים MT = r ו־TE = r:

ME² = MT² + TE²📐 נוסחה: משפט פיתגורסa² + b² = c²

נציב MT = TE = r:

ME² = r² + r² = 2r²

ME = r√2

נציב ME = 4 (נתון):

4 = r√2

r = 4√2 = 2√2

נציב את r מסעיף ג:

(√3 − 1)k2 = 2√2

k = 4√2√3 − 1

נכפול מונה ומכנה ב־(√3 + 1), כדי להיפטר מהשורש שבמכנה:

k = 4√2(√3 + 1)2

k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73

✅ פתרון סופי: k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73

📌 סיכום

סעיף א	AC = kcos∢CAB
סעיף ב	∢CAB = 60 מעלות
סעיף ג	r = (√3 − 1)k2
סעיף ד	k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים