מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 8: חפיפת משולשים: משפט צ.ז.צ
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 3 · חפיפת משולשים · שיעור 8
📄 דף הסבר: חפיפת משולשים: משפט צ.ז.צ
הגדרת חפיפה, התאמת קדקודים ומשפט צ.ז.צ
חפיפת משולשים: צ.ז.צ
משולשים חופפים – אותה צורה ואותו גודל. כותבים △ABC ≅ △DEF לפי סדר הקדקודים המתאימים
📐 הגדרה: משולשים חופפים: אפשר להניח אחד על השני כך שיתלכדו. כותבים את הקדקודים לפי הסדר המתאים △ABC ≅ △DEF
AB = DE ← צלע
∢B = ∢E ← הזווית שבין שתי הצלעות
BC = EF ← צלע
△ABC ≅ △DEF ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 📐 משפט חפיפה צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן שוות ← המשולשים חופפים
💡 ממשולשים חופפים מקבלים את כל השאר: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן ← △ABC ≅ △DEF ← צלעות וזוויות מתאימות שוות ✅
✏️ תרגילים
ארבעה תרגילים: שלוש הוכחות (אחת היא הוכחת המשפט של שיעור 5) ותרגיל עם משוואה. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: צ.ז.צ · קל
במרובע ABCD: AB = AD, והאלכסון AC חוצה את ∢BAD
הוכיחו: △ABC ≅ △ADC ו־BC = DC
הוכיחו: △ABC ≅ △ADC ו־BC = DC
AB = AD , AC חוצה את ∢BAD ← נתון
AB = AD ← נתון (צלע)
∢BAC = ∢DAC ← AC חוצה זווית (הזווית שבין הצלעות)
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
AC = AC ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABC ≅ △ADC ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
BC = DC ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: △ABC ≅ △ADC ולכן BC = DC
🟢 תרגיל 2: צ.ז.צ עם זוויות קדקודיות · בינוני
הקטעים AB ו־CD נחתכים בנקודה O, ו־O אמצע של שניהם
הוכיחו: AC = BD ו־AC ∥ BD
הוכיחו: AC = BD ו־AC ∥ BD
AO = OB , CO = OD ← נתון
AO = OB ← נתון (צלע)
∢AOC = ∢BOD ← זוויות קדקודיות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
CO = OD ← נתון (צלע)
△AOC ≅ △BOD ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
AC = BD ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
∢A = ∢B ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
∢A ו־∢B זוויות מתחלפות ← בין AC ל־BD, החותך AB
AC ∥ BD ← זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC = BD ו־AC ∥ BD
🟣 תרגיל 3: הוכחת משפט (מבטיחים משיעור 5)
במשולש ABC: AB = AC, ו־AD חוצה את ∢A
הוכיחו: ∢B = ∢C , BD = DC , AD ⊥ BC
הוכיחו: ∢B = ∢C , BD = DC , AD ⊥ BC
AB = AC , AD חוצה את ∢A ← נתון
AB = AC ← נתון (צלע)
∢BAD = ∢CAD ← AD חוצה זווית
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
AD = AD ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABD ≅ △ACD ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
∢B = ∢C ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
BD = DC (AD תיכון) ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
∢ADB = ∢ADC , וסכומן 180 ← כל אחת 90 ← חפיפה + זוויות צמודות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
✅ פתרון סופי: הוכחנו: ∢B = ∢C , BD = DC , AD ⊥ BC
🔷 תרגיל 4: חפיפה ומשוואה · בינוני
נתון: AB = DE , BC = EF , ∢B = ∢E = 40
∢A = x + 30 , ∢D = 2x − 10. מצאו את x ואת ∢C ו־∢F
∢A = x + 30 , ∢D = 2x − 10. מצאו את x ואת ∢C ו־∢F
AB = DE , ∢B = ∢E , BC = EF ← נתון
△ABC ≅ △DEF ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
∢A = ∢D ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
x + 30 = 2x − 10 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
30 + 10 = 2x − x ← מעבירים אגפים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 40 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
∢A = ∢D = 40 + 30 = 70 ← מציבים x = 40
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢C = 180 − 70 − 40 = 70 , ∢F = ∢C = 70 ← סכום זוויות + חפיפה
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: x = 40 , ∢C = ∢F = 70
💡 לזכור
כותבים את המשולשים לפי הסדר המתאים (A מול D , B מול E , C מול F). בכל שורת הוכחה: טענה + נימוק.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il