מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 47 – בגרות 2021 נבצרים
חקירת שורש · 5 יחידות · שאלון 571
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת חקירת שורש מבגרות 5 יחידות 2021 (חורף, נבצרים): פונקציה עם פרמטר a, סקיצה ל-a > 0 ול-a < 0, ובסוף g(x) = f(x)·f′(x) – תחום שליליות ושטח באינטגרל עם זיהוי הנגזרת.
נתונה הפונקציה f(x) = ax√x² − 16 , a ≠ 0 פרמטר.
🔵 סעיף א: תחום ההגדרה – שורש במכנה
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
שורש במכנה – מה שבתוכו גדול מ-0 (בלי שווה):
x² − 16 > 0
x² = 16
x = ±4
פרבולה צוחקת – מעל ציר x מחוץ לשורשים.
תשובה: x > 4 , x < −4
🟣 סעיף ב: האסימפטוטות המאונכות לצירים (עבור a > 0)
בסעיפים ב–ד, a > 0. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.
אנכית: התחום מתחיל ב-±4 ולא כולל אותן, ו-x = ±4 לא מאפסות את המונה (לא חור) ← x = ±4
אופקית: החזקות הגבוהות: ax√x² = ax±x
החזקה במונה ובמכנה שווה (1) ← y = a1 = a , y = a−1 = −a
תשובה: x = ±4 , y = ±a
🔷 סעיף ג: תחומי עלייה וירידה – אין קיצון, הנגזרת שלילית
מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, אם יש כאלה.
נגזרת מנה, ונגזרת שורש: 2x2√x² − 16
f′(x) = מונהx² − 16
מונה: a·√x² − 16
− 2x2√x² − 16·ax
משווים ל-0 (מונה = 0), מצמצמים 2 ואחר כך a:
a√x² − 16 = ax²√x² − 16
x² − 16 = x²
−16 = 0 – פסוק שקר ← אין נקודות קיצון.
מציבים x = 5 (ב-x = −5 יוצא אותו דבר – x מופיע רק בריבוע):
a√9 − 25a√9
= 3a − 813a = −513a
a > 0 ← −513a < 0 ← f′ < 0
| x | x < −4 | x > 4 |
|---|---|---|
| f′(x) | − | − |
| f(x) | ↘ | ↘ |
תשובה: הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה: x > 4 , x < −4
🟢 סעיף ד: סקיצה של גרף הפונקציה עבור a > 0
סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (עבור a > 0).
אסימפטוטות x = ±4 ו-y = ±a; בין −4 ל-4 אין גרף; הפונקציה יורדת בשני הענפים.
תשובה: סקיצה כמו בסרטוט
🟣 סעיף ה: סקיצה של גרף הפונקציה עבור a < 0
סרטטו סקיצה של גרף f(x) עבור a < 0.
מה משתנה? הנגזרת ב-x = ±5 היא −513a, וכש-a < 0 היא חיובית ← הפונקציה עולה בכל התחום.
האסימפטוטות לא משתנות: x = ±4 , y = ±a – אבל עכשיו −a למעלה ו-a למטה.
תשובה: סקיצה כמו בסרטוט (עולה בשני הענפים)
🔵 סעיף ו1: תחום השליליות של g(x) = f(x)·f′(x)
נתון a = 1 ונתונה הפונקציה g(x) = f(x)·f′(x), המוגדרת בתחום שבו מוגדרות f(x) ו-f′(x). מצאו את תחום השליליות של g(x).
מסתכלים על הסרטוט של a > 0 (סעיף ד):
| x | x < −4 | x > 4 |
|---|---|---|
| f(x) | − | + |
| f′(x) | − | − |
| g(x) | + | − |
כש-x > 4: f מעל ציר x (חיובית), יורדת ← f′ שלילית; חיובי · שלילי = שלילי.
כש-x < −4: f שלילית ויורדת; שלילי · שלילי = חיובי.
תשובה: x > 4
🟢 סעיף ו2: השטח בין גרף g(x), שני ישרים אנכיים וציר x – אינטגרל עם זיהוי הנגזרת
חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x), הישר x = 5, הישר x = 6 וציר x.
בין 5 ל-6 g(x) < 0 (סעיף ו1) – השטח הוא הערך המוחלט של האינטגרל.
∫65f(x)·f′(x)dx
זיהוי הנגזרת: ∫(f(x))n·f′(x)dx = (f(x))n+1n+1
כאן n = 1:
(f(x))²2|65
עם a = 1: (f(x))² = x²x² − 16
x²2(x² − 16)|65
= 6²2(6² − 16) − 5²2(5² − 16)
= 3640 − 2518 = −0.4889
יצא שלילי כי g שלילית בתחום – לוקחים ערך מוחלט.
תשובה: S = 0.4889 (בדיוק 2245)
💡 לזכור
f·f′ הוא בדיוק התבנית של זיהוי הנגזרת: ∫f·f′dx = f²2. שטח מתחת לציר x – האינטגרל יוצא שלילי, ולוקחים ערך מוחלט.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il