שיעור 54 – בגרות 571 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 5

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 5
פתרון מלא

📄 נוסח השאלה

במשולש ABC, BD הוא תיכון לצלע AC. הנקודה E נמצאת על הצלע BC. הקטעים AE ו־BD נחתכים בנקודה P (ראו סרטוט). נתון: BP = 3 · PD.

את הזוויות ABP ו־BAP מסמנים בשאלון באותיות; כאן נכתוב ∢ABP ו־∢BAP. נתון: AB = k, ∢BAP < ∢ABP.

א. הביעו את AP ואת BP באמצעות ∢BAP, ∢ABP ו־k.

נתון: AE ⊥ BD, ושטח המשולש ABD הוא k²4. ב. מצאו את ∢BAP.

ג. מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEB.

ד. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC, כך שמתקיים ∢ABC = 90 מעלות. הביעו באמצעות k.

✏️ פתרון

סעיף א – AP ו־BP

∢APB = 180 − (∢BAP + ∢ABP)

APsin∢ABP = BPsin∢BAP = ABsin∢APB📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C

נציב AB = k ו־∢APB = 180 − (∢BAP + ∢ABP):

APsin∢ABP = BPsin∢BAP = ksin(180 − (∢BAP + ∢ABP))

sin(180 − (∢BAP + ∢ABP)) = sin(∢BAP + ∢ABP)📐 נוסחה: זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x

נציב sin(180 − (∢BAP + ∢ABP)) = sin(∢BAP + ∢ABP) ונבודד:

AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)

BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)

✅ פתרון סופי: AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)
BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)

סעיף ב – גודל הזווית

AE ⊥ BD, ולכן ∢APB = 90 מעלות ו־∢BAP + ∢ABP = 90. אז sin(∢BAP + ∢ABP) = 1 ו־sin∢ABP = cos∢BAP:

AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP)

נציב sin∢ABP = cos∢BAP ו־sin(∢BAP + ∢ABP) = 1:

AP = k · cos∢BAP1 = k · cos∢BAP

BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)

נציב sin(∢BAP + ∢ABP) = 1:

BP = k · sin∢BAP1 = k · sin∢BAP

BD = BP + PD

נציב PD = BP3 (נתון BP = 3PD):

BD = BP + BP3 = 43BP

נציב BP = k · sin∢BAP:

BD = 43k · sin∢BAP

AP ⊥ BD, ולכן AP הוא הגובה מ־A לצלע BD במשולש ABD:

S_ABD = ½ · BD · AP📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2

נציב BD = 43k · sin∢BAP ו־AP = k · cos∢BAP:

S_ABD = ½ · 43k · sin∢BAP · k · cos∢BAP

נציב S_ABD = k²4 (נתון):

23k² sin∢BAP cos∢BAP = k²4

sin∢BAP cos∢BAP = 38

נכפול ב־2, כדי לקבל סינוס של זווית כפולה:

2 sin∢BAP cos∢BAP = 2 · 38

נציב 2 sin∢BAP cos∢BAP = sin(2∢BAP):

sin(2∢BAP) = 2 · 38 = 0.75📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin x cos x

2∢BAP ≈ 48.59 או 2∢BAP ≈ 131.41

∢BAP ≈ 24.3 או ∢BAP ≈ 65.7

∢BAP < ∢ABP ו־∢BAP + ∢ABP = 90, ולכן ∢BAP < 45: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות.

✅ פתרון סופי: ∢BAP ≈ 24.3 מעלות

סעיף ג – יחס הרדיוסים

R_AEC = AC2sin∢AEC , R_AEB = AB2sin∢AEB📐 נוסחה: משפט הסינוסים (רדיוס המעגל החוסם)asin∢A = 2R

sin∢AEC = sin∢AEB📐 נוסחה: זוויות צמודותsin(180 − x) = sin x

נחלק את שני הרדיוסים; sin∢AEC = sin∢AEB מצטמצמים:

R_AECR_AEB = ACAB

נציב AB = k:

R_AECR_AEB = ACk

נחשב את AC: D אמצע AC, ולכן AC = 2AD. במשולש ישר הזווית APD:

AP = k · cos∢BAP

נציב ∢BAP ≈ 24.3:

AP = k · cos24.3 ≈ 0.9114k

PD = BP3

נציב BP = k · sin∢BAP ו־∢BAP ≈ 24.3:

PD = k · sin24.33 ≈ 0.1371k

AD = √AP² + PD²📐 נוסחה: משפט פיתגורסa² + b² = c²

נציב AP ≈ 0.9114k ו־PD ≈ 0.1371k:

AD ≈ √(0.9114k)² + (0.1371k)²

AD ≈ √0.8306 + 0.0188 · k

AD ≈ 0.9216k

AC = 2 · AD

נציב AD ≈ 0.9216k:

AC ≈ 2 · 0.9216k ≈ 1.843k

נציב AC ≈ 1.843k ביחס הרדיוסים:

R_AECR_AEB ≈ 1.843kk ≈ 1.843

✅ פתרון סופי: R_AECR_AEB ≈ 1.843

סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC

הערה: בסעיף זה משתמשים בנתונים BP = 3PD ו־AE ⊥ BD יחד עם ∢ABC = 90 (נתון השטח מסעיף ב לא מתיישב עם זווית ישרה ב־B, ולכן לא משתמשים בו כאן).

נסמן PD = t, אז BP = 3t, ו־AP = h. D אמצע AC, ולכן C נמצאת במרחק 2t מהישר AE בצד של D, ובמרחק h מתחת לישר BD (סימטרייה סביב D).

נשתמש בזווית ∢ABC = 90: במשולש ישר הזווית ABP, ∢ABP = 90 − ∢BAP, ולכן ∢PBC = ∢BAP. מהמשולש ABP: tan∢BAP = BPAP = 3th.

מהנקודה C נוריד אנך לישר BD: הרגל שלו נמצאת במרחק 3t + 2t = 5t מ־B, וגובהו h. לכן tan∢PBC = h5t.

tan∢BAP = tan∢PBC

נציב tan∢BAP = 3th ו־tan∢PBC = h5t:

3th = h5t ⇐ h² = 15t² ⇐ h = √15t

AB² = BP² + AP²📐 נוסחה: משפט פיתגורסa² + b² = c²

נציב AB = k , BP = 3t ו־AP = h = √15t:

k² = (3t)² + (√15t)² = 24t²

t = k√24

AC = 2AD = 2√PD² + AP²📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש APD

נציב PD = t ו־AP = h = √15t:

AC = 2√t² + (√15t)² = 2√16t² = 8t

E על BC ועל הישר AP: מדמיון המשולשים BPE ו־(המשולש שיוצר האנך מ־C), PE = 35h. במשולש ישר הזווית שבין E, C והאנך מ־C לישר AE: הניצבים 2t ו־25h:

EC = √(2t)² + (25h)² = √4t² + 425 · h²

נציב h² = 15t²:

EC = √4t² + 425 · 15t² = √6.4t

sin∢AEC = 2tEC

נציב EC = √6.4t:

sin∢AEC = 2t√6.4t = 2√6.4

R_AEC = AC2sin∢AEC📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin∢A = 2R

נציב AC = 8t ו־sin∢AEC = 2√6.4:

R_AEC = 8t2 · 2√6.4 = 8t · √6.44

R_AEC = 2√6.4t

נציב t = k√24:

R_AEC = 2√6.4 · k√24

R_AEC = 4k√15 ≈ 1.033k

✅ פתרון סופי: R_AEC = 4k√15 ≈ 1.033k

📌 סיכום

סעיף א	AP = k · sin∢ABPsin(∢BAP + ∢ABP) BP = k · sin∢BAPsin(∢BAP + ∢ABP)
סעיף ב	∢BAP ≈ 24.3 מעלות
סעיף ג	≈ 1.843
סעיף ד	4k√15 ≈ 1.033k

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים