מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 1-נגזרת-איך גוזרים
נלמד כיצד לגזור פונקציה(פולינום)
חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571
📄 דף הסבר: כללי גזירה של פולינום
4 כללים, ואיתם גוזרים כל פולינום
מה זו נגזרת?
הנגזרת מראה את שיפוע הפונקציה בכל נקודה. בעזרתה מוצאים נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה ומשוואת משיק – נושאים שחוזרים בכל שאלון בגרות.
כלל החזקה
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
מורידים את החזקה כמקדם ומפחיתים ממנה 1
הכללים4 כללי הגזירה החשובים
1נגזרת של קבוע היא 0
(7)′ = 0
2כלל החזקה
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ ← למשל (x⁵)′ = 5x⁴
3מקדם נשאר בחוץ
כופלים אותו בנגזרת: (a·xⁿ)′ = a·n·xⁿ⁻¹ ← למשל (4x³)′ = 12x²
4סכום והפרש
גוזרים כל איבר בנפרד: (f + g)′ = f′ + g′
דוגמאותדוגמאות פתורות
1f(x) = 3x² + 5x − 7
3x² ← 6x | 5x ← 5 | −7 ← 0
f′(x) = 6x + 5
2f(x) = x⁴ − 2x³ + x
f′(x) = 4x³ − 6x² + 1
3f(x) = 2x⁵ + 4x² − 9
f′(x) = 10x⁴ + 8x
4נגזרת בנקודה
f(x) = x³ − 3x , מצאו את f′(2)
f′(x) = 3x² − 3 ← f′(2) = 3·4 − 3 = 9
קבוע ← 0 · חזקה יורדת כמקדם · מקדם נשאר · סכום ← איבר איבר ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו 13 תרגילי גזירה, מהקל אל הקשה. כאן כולם כתובים, שלב אחרי שלב, כדי שתוכלו לחזור עליהם ולתרגל לבד 👇
🔷 שלב 1: מספר, ומספר כפול x
תרגיל 1: גזרו את y = 2x
מספר כפול x ← הנגזרת היא המספר שלפני ה־x
תשובה: y' = 2
תרגיל 2: גזרו את y = 10x
המספר שלפני ה־x הוא 10
תשובה: y' = 10
תרגיל 3: גזרו את y = 5
5 הוא מספר קבוע, והנגזרת של מספר היא תמיד 0 (גם של מיליון!)
תשובה: y' = 0
תרגיל 4: גזרו את y = 12x + 10
גוזרים כל איבר בנפרד:
(12x)' = 12 , (10)' = 0
תשובה: y' = 12
🔵 שלב 2: x בחזקה
תרגיל 5: גזרו את y = x³
מורידים את החזקה 3 לפני ה־x, ומהחזקה מחסירים 1:
3·x³⁻¹ = 3x²
תשובה: y' = 3x²
תרגיל 6: גזרו את y = x⁴
ה־4 יורד לפני ה־x, והחזקה נהיית 4 − 1 = 3
4·x⁴⁻¹ = 4x³
תשובה: y' = 4x³
🟣 שלב 3: תרגילים משולבים
תרגיל 7: גזרו את y = x⁶ + 2x − 100
גוזרים כל איבר בנפרד:
(x⁶)' = 6x⁵
(2x)' = 2 , (−100)' = 0
תשובה: y' = 6x⁵ + 2
תרגיל 8: גזרו את y = 2x³
מספר שכופל את ה־x נשאר, ואת x³ גוזרים כרגיל:
2·3x² = 6x²
תשובה: y' = 6x²
תרגיל 9: גזרו את y = x²2
מספר שמחלק את ה־x גם הוא נשאר. גוזרים רק את x²:
(x²)' = 2x
ואז מצמצמים: 2x2 = x
תשובה: y' = x
תרגיל 10: גזרו את y = 2x⁴ + 4x + 9
ה־2 נשאר, ואת x⁴ גוזרים:
2·4x³ = 8x³
(4x)' = 4 , (9)' = 0
תשובה: y' = 8x³ + 4
תרגיל 11: גזרו את y = −x⁷ + 6x + 10
מינוס לפני ה־x זה כאילו כתוב −1·x⁷ , והמספר −1 פשוט נשאר:
−1·7x⁶ = −7x⁶
(6x)' = 6 , (10)' = 0
תשובה: y' = −7x⁶ + 6
תרגיל 12: גזרו את y = 2x³3 − x⁷5 + 12x + 1
כל מספר שכופל או מחלק נשאר, וגוזרים רק את החזקה:
2·3x²3 = 2x² (מצמצמים את ה־3)
(x⁷5)' = 7x⁶5
(12x)' = 12 , (1)' = 0
תשובה: y' = 2x² − 7x⁶5 + 12
תרגיל 13: גזרו את y = (x − 3)(x − 4)
קודם פותחים סוגריים (כל איבר כפול כל איבר):
x² − 4x − 3x + 12
= x² − 7x + 12
עכשיו גוזרים כל איבר:
(x²)' = 2x , (−7x)' = −7
(12)' = 0
תשובה: y' = 2x − 7
💡 לזכור
מספר שכופל או מחלק את ה־x נשאר בנגזרת. מספר שעומד לבד (מחובר או מחוסר) נעלם, כי הנגזרת שלו 0. ואם יש סוגריים מוכפלים, קודם פותחים אותם ורק אז גוזרים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il