מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 16 – תרגילים נוספים: כפל וחילוק שברים אלגבריים (ללא סרטון)
טכניקה אלגברית · פירוק לגורמים · שיעור 16 · ללא סרטון
📝 תרגילים נוספים – כפל, חילוק וצמצום שברים אלגבריים
מפרקים לגורמים, הופכים את המחלק, ומצמצמים
📌 תרגילים ללא סרטון: קודם כל התרגילים, ואחריהם פתרון מלא לכל תרגיל
איך מתרגלים?
- מעתיקים את התרגילים למחברת ופותרים לבד.
- רק אחר כך יורדים לפתרונות המלאים ומשווים.
- יצא משהו אחר? מחפשים את השלב הראשון שבו הפתרון שלכם שונה.
✏️ התרגילים
23 תרגילים: קודם צמצום, אחר כך כפל, אחר כך חילוק, ובסוף תרגיל משולב. בכל תרגיל: מפרקים כל מונה וכל מכנה לגורמים, ורק אז מצמצמים.
1צמצמו: x2 − 9x2 + 3x קל
2צמצמו: x2 − 5x + 6x2 − 4 קל
3צמצמו: 2a2 − 8a2 + 4a + 4 בינוני
4צמצמו: 3x2 − 12xx2 − 8x + 16 בינוני
5צמצמו: 4x2 − 92x2 − 3x בינוני
6צמצמו: x3 − 4xx2 − 4x + 4 מאתגר
7פשטו: a2 − 363a − 18 · 5a2 + 6a קל
8פשטו: x2 − 14x · 8x2x2 + 2x + 1 קל
9פשטו: x2 + 5x + 6x2 − 9 · x − 3x + 2 קל
10פשטו: 2x + 10x2 − 25 · x2 − 5x6x בינוני
11פשטו: a2 − 4a + 4a2 − 4 · a + 25a − 10 בינוני
12פשטו: x2 − 7x + 12x2 − 16 · x2 + 4xx2 − 3x בינוני
13פשטו: x2 − x − 62x + 4 · 8x2 − 9 בינוני
14פשטו: 5x − 5x2 + x · x2 + 2x + 1x2 − 1 מאתגר
15פשטו: a2 − 94a : a + 38a2 קל
16פשטו: x2 − 4x2 + 6x + 9 : x − 2x + 3 קל
17פשטו: 6x2x2 − 49 : 3xx + 7 קל
18פשטו: x2 − 10x + 25x2 − 25 : 3x − 15x + 5 בינוני
19פשטו: 2a2 + 6aa2 − 1 : a2 + 3aa + 1 בינוני
20פשטו: x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4 : x2 − 25x − 2 בינוני
21פשטו: x2 − 16x2 + x − 12 : x2 − 4xx2 − 9 מאתגר
22פשטו: a2 − 2a − 15a2 + 6a + 9 : a2 − 252a + 6 מאתגר
23פשטו: x2 − 1x2 − 4x · x2 − 16x2 + x : x2 + 3x − 4x2 מאתגר
📖 פתרונות מלאים
🔵 תרגיל 1: x2 − 9x2 + 3x
צמצמו: x2 − 9x2 + 3x📖 פתרון מלא:
(x + 3)(x − 3)x(x + 3)
(x + 3)(x − 3)x(x + 3) = (x − 3)x
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
x2 − 9 = x2 − 32
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: x.
x2 + 3x = x(x + 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים את השבר עם הגורמים:
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x + 3)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
✅ פתרון סופי: (x − 3)x
🟣 תרגיל 2: x2 − 5x + 6x2 − 4
צמצמו: x2 − 5x + 6x2 − 4📖 פתרון מלא:
(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x − 2)
(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x − 2) = (x − 3)(x + 2)
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
טרינום x2 − 5x + 6: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם 6 והסכום שלהם −5. אלה המספרים −3 ו־−2:
(−3) · (−2) = 6
(−3) + (−2) = −5
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
הפרש ריבועים:
x2 − 4 = x2 − 22
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים את השבר עם הגורמים:
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 2)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
✅ פתרון סופי: (x − 3)(x + 2)
🟢 תרגיל 3: 2a2 − 8a2 + 4a + 4
צמצמו: 2a2 − 8a2 + 4a + 4📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
גורם משותף: 2.
2a2 − 8 = 2(a2 − 4)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הפרש ריבועים:
a2 − 4 = a2 − 22
a2 − 4 = (a − 2)(a + 2)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
2a2 − 8 = 2(a − 2)(a + 2)
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · a · 2 = 4a ✓
a2 + 4a + 4 = (a + 2)2📐 ריבוע של סכוםa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
כותבים את השבר עם הגורמים:
2(a + 2)(a − 2)(a + 2)(a + 2)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (a + 2)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
2(a + 2)(a − 2)(a + 2)(a + 2) = 2(a − 2)(a + 2)
✅ פתרון סופי: 2(a − 2)(a + 2)
🔵 תרגיל 4: 3x2 − 12xx2 − 8x + 16
צמצמו: 3x2 − 12xx2 − 8x + 16📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
גורם משותף: 3x.
3x2 − 12x = 3x(x − 4)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · x · 4 = 8x ✓
x2 − 8x + 16 = (x − 4)2📐 ריבוע של הפרשa2 − 2ab + b2 = (a − b)2
כותבים את השבר עם הגורמים:
3 · x(x − 4)(x − 4)(x − 4)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 4)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
3 · x(x − 4)(x − 4)(x − 4) = 3x(x − 4)
✅ פתרון סופי: 3x(x − 4)
🟣 תרגיל 5: 4x2 − 92x2 − 3x
צמצמו: 4x2 − 92x2 − 3x📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
4x2 − 9 = (2x)2 − 32
4x2 − 9 = (2x − 3)(2x + 3)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: x.
2x2 − 3x = x(2x − 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים את השבר עם הגורמים:
(2x + 3)(2x − 3)x(2x − 3)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (2x − 3)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
(2x + 3)(2x − 3)x(2x − 3) = (2x + 3)x
✅ פתרון סופי: (2x + 3)x
🟢 תרגיל 6: x3 − 4xx2 − 4x + 4
צמצמו: x3 − 4xx2 − 4x + 4📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
גורם משותף: x.
x3 − 4x = x(x2 − 4)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הפרש ריבועים:
x2 − 4 = x2 − 22
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
x3 − 4x = x(x − 2)(x + 2)
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · x · 2 = 4x ✓
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2📐 ריבוע של הפרשa2 − 2ab + b2 = (a − b)2
כותבים את השבר עם הגורמים:
x(x + 2)(x − 2)(x − 2)(x − 2)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 2)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
x(x + 2)(x − 2)(x − 2)(x − 2) = x(x + 2)(x − 2)
✅ פתרון סופי: x(x + 2)(x − 2)
🔵 תרגיל 7: a2 − 363a − 18 · 5a2 + 6a
פשטו: a2 − 363a − 18 · 5a2 + 6a📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
a2 − 36 = a2 − 62
a2 − 36 = (a − 6)(a + 6)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: 3.
3a − 18 = 3(a − 6)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
גורם משותף: a.
a2 + 6a = a(a + 6)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
5(a + 6)(a − 6)3 · a(a + 6)(a − 6)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (a − 6) , (a + 6)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
53a
✅ פתרון סופי: 53a
🟣 תרגיל 8: x2 − 14x · 8x2x2 + 2x + 1
פשטו: x2 − 14x · 8x2x2 + 2x + 1📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
x2 − 1 = x2 − 12
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · x · 1 = 2x ✓
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2📐 ריבוע של סכוםa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
8 · x · x(x + 1)(x − 1)4 · x(x + 1)(x + 1)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x + 1) , x , והמספרים 8 : 4 = 2 , 4 : 4 = 1📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
2x(x − 1)(x + 1)
✅ פתרון סופי: 2x(x − 1)(x + 1)
🟢 תרגיל 9: x2 + 5x + 6x2 − 9 · x − 3x + 2
פשטו: x2 + 5x + 6x2 − 9 · x − 3x + 2📖 פתרון מלא:
(x + 2)(x + 3)(x − 3)(x + 2)(x + 3)(x − 3)
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
טרינום x2 + 5x + 6: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם 6 והסכום שלהם 5. אלה המספרים 2 ו־3:
2 · 3 = 6
2 + 3 = 5
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
הפרש ריבועים:
x2 − 9 = x2 − 32
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x + 2) , (x + 3) , (x − 3)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
1
✅ פתרון סופי: 1
🔵 תרגיל 10: 2x + 10x2 − 25 · x2 − 5x6x
פשטו: 2x + 10x2 − 25 · x2 − 5x6x📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
גורם משותף: 2.
2x + 10 = 2(x + 5)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
גורם משותף: x.
x2 − 5x = x(x − 5)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הפרש ריבועים:
x2 − 25 = x2 − 52
x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
2 · x(x + 5)(x − 5)6 · x(x + 5)(x − 5)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x + 5) , x , (x − 5) , והמספרים 2 : 2 = 1 , 6 : 2 = 3📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
13
✅ פתרון סופי: 13
🟣 תרגיל 11: a2 − 4a + 4a2 − 4 · a + 25a − 10
פשטו: a2 − 4a + 4a2 − 4 · a + 25a − 10📖 פתרון מלא:
(a + 2)(a − 2)25(a + 2)(a − 2)2
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · a · 2 = 4a ✓
a2 − 4a + 4 = (a − 2)2📐 ריבוע של הפרשa2 − 2ab + b2 = (a − b)2
הפרש ריבועים:
a2 − 4 = a2 − 22
a2 − 4 = (a − 2)(a + 2)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: 5.
5a − 10 = 5(a − 2)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (a − 2)2 , (a + 2)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
15
✅ פתרון סופי: 15
🟢 תרגיל 12: x2 − 7x + 12x2 − 16 · x2 + 4xx2 − 3x
פשטו: x2 − 7x + 12x2 − 16 · x2 + 4xx2 − 3x📖 פתרון מלא:
x(x + 4)(x − 3)(x − 4)x(x + 4)(x − 3)(x − 4)
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
טרינום x2 − 7x + 12: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם 12 והסכום שלהם −7. אלה המספרים −4 ו־−3:
(−4) · (−3) = 12
(−4) + (−3) = −7
x2 − 7x + 12 = (x − 4)(x − 3)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
גורם משותף: x.
x2 + 4x = x(x + 4)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הפרש ריבועים:
x2 − 16 = x2 − 42
x2 − 16 = (x − 4)(x + 4)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: x.
x2 − 3x = x(x − 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 4) , (x − 3) , x , (x + 4)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
1
✅ פתרון סופי: 1
🔵 תרגיל 13: x2 − x − 62x + 4 · 8x2 − 9
פשטו: x2 − x − 62x + 4 · 8x2 − 9📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
טרינום x2 − x − 6: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם −6 והסכום שלהם −1. אלה המספרים −3 ו־2:
(−3) · 2 = −6
(−3) + 2 = −1
x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
גורם משותף: 2.
2x + 4 = 2(x + 2)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הפרש ריבועים:
x2 − 9 = x2 − 32
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
8(x + 2)(x − 3)2(x + 2)(x + 3)(x − 3)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 3) , (x + 2) , והמספרים 8 : 2 = 4 , 2 : 2 = 1📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
4(x + 3)
✅ פתרון סופי: 4(x + 3)
🟣 תרגיל 14: 5x − 5x2 + x · x2 + 2x + 1x2 − 1
פשטו: 5x − 5x2 + x · x2 + 2x + 1x2 − 1📖 פתרון מלא:
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
גורם משותף: 5.
5x − 5 = 5(x − 1)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · x · 1 = 2x ✓
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2📐 ריבוע של סכוםa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
גורם משותף: x.
x2 + x = x(x + 1)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הפרש ריבועים:
x2 − 1 = x2 − 12
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
5(x + 1)2(x − 1)x(x + 1)2(x − 1)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 1) , (x + 1)2📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
5x
✅ פתרון סופי: 5x
🟢 תרגיל 15: a2 − 94a : a + 38a2
פשטו: a2 − 94a : a + 38a2📖 פתרון מלא:
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
a2 − 94a · 8a2a + 3
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
a2 − 9 = a2 − 32
a2 − 9 = (a − 3)(a + 3)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
8 · a · a(a + 3)(a − 3)4 · a(a + 3)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (a + 3) , a , והמספרים 8 : 4 = 2 , 4 : 4 = 1📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
2a(a − 3)
✅ פתרון סופי: 2a(a − 3)
🔵 תרגיל 16: x2 − 4x2 + 6x + 9 : x − 2x + 3
פשטו: x2 − 4x2 + 6x + 9 : x − 2x + 3📖 פתרון מלא:
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
x2 − 4x2 + 6x + 9 · x + 3x − 2
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
x2 − 4 = x2 − 22
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · x · 3 = 6x ✓
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2📐 ריבוע של סכוםa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
(x + 2)(x + 3)(x − 2)(x + 3)(x + 3)(x − 2)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 2) , (x + 3)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
(x + 2)(x + 3)
✅ פתרון סופי: (x + 2)(x + 3)
🟣 תרגיל 17: 6x2x2 − 49 : 3xx + 7
פשטו: 6x2x2 − 49 : 3xx + 7📖 פתרון מלא:
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
6x2x2 − 49 · x + 73x
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
x2 − 49 = x2 − 72
x2 − 49 = (x − 7)(x + 7)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
6 · x · x(x + 7)3 · x(x + 7)(x − 7)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: x , (x + 7) , והמספרים 6 : 3 = 2 , 3 : 3 = 1📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
2x(x − 7)
✅ פתרון סופי: 2x(x − 7)
🟢 תרגיל 18: x2 − 10x + 25x2 − 25 : 3x − 15x + 5
פשטו: x2 − 10x + 25x2 − 25 : 3x − 15x + 5📖 פתרון מלא:
(x + 5)(x − 5)23(x + 5)(x − 5)2
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
x2 − 10x + 25x2 − 25 · x + 53x − 15
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · x · 5 = 10x ✓
x2 − 10x + 25 = (x − 5)2📐 ריבוע של הפרשa2 − 2ab + b2 = (a − b)2
הפרש ריבועים:
x2 − 25 = x2 − 52
x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: 3.
3x − 15 = 3(x − 5)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 5)2 , (x + 5)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
13
✅ פתרון סופי: 13
🔵 תרגיל 19: 2a2 + 6aa2 − 1 : a2 + 3aa + 1
פשטו: 2a2 + 6aa2 − 1 : a2 + 3aa + 1📖 פתרון מלא:
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
2a2 + 6aa2 − 1 · a + 1a2 + 3a
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
גורם משותף: 2a.
2a2 + 6a = 2a(a + 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הפרש ריבועים:
a2 − 1 = a2 − 12
a2 − 1 = (a − 1)(a + 1)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: a.
a2 + 3a = a(a + 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
2 · a(a + 1)(a + 3)a(a + 1)(a + 3)(a − 1)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: a , (a + 3) , (a + 1)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
2(a − 1)
✅ פתרון סופי: 2(a − 1)
🟣 תרגיל 20: x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4 : x2 − 25x − 2
פשטו: x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4 : x2 − 25x − 2📖 פתרון מלא:
(x + 5)(x − 2)2(x + 5)(x − 2)2(x − 5)
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4 · x − 2x2 − 25
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
טרינום x2 + 3x − 10: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם −10 והסכום שלהם 3. אלה המספרים −2 ו־5:
(−2) · 5 = −10
(−2) + 5 = 3
x2 + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · x · 2 = 4x ✓
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2📐 ריבוע של הפרשa2 − 2ab + b2 = (a − b)2
הפרש ריבועים:
x2 − 25 = x2 − 52
x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 2)2 , (x + 5)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
1(x − 5)
✅ פתרון סופי: 1(x − 5)
🟢 תרגיל 21: x2 − 16x2 + x − 12 : x2 − 4xx2 − 9
פשטו: x2 − 16x2 + x − 12 : x2 − 4xx2 − 9📖 פתרון מלא:
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
x2 − 16x2 + x − 12 · x2 − 9x2 − 4x
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
x2 − 16 = x2 − 42
x2 − 16 = (x − 4)(x + 4)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
הפרש ריבועים:
x2 − 9 = x2 − 32
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
טרינום x2 + x − 12: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם −12 והסכום שלהם 1. אלה המספרים −3 ו־4:
(−3) · 4 = −12
(−3) + 4 = 1
x2 + x − 12 = (x − 3)(x + 4)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
גורם משותף: x.
x2 − 4x = x(x − 4)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
(x + 3)(x + 4)(x − 3)(x − 4)x(x + 4)(x − 3)(x − 4)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 4) , (x + 4) , (x − 3)📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
(x + 3)x
✅ פתרון סופי: (x + 3)x
🔵 תרגיל 22: a2 − 2a − 15a2 + 6a + 9 : a2 − 252a + 6
פשטו: a2 − 2a − 15a2 + 6a + 9 : a2 − 252a + 6📖 פתרון מלא:
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
a2 − 2a − 15a2 + 6a + 9 · 2a + 6a2 − 25
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
טרינום a2 − 2a − 15: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם −15 והסכום שלהם −2. אלה המספרים −5 ו־3:
(−5) · 3 = −15
(−5) + 3 = −2
a2 − 2a − 15 = (a − 5)(a + 3)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
גורם משותף: 2.
2a + 6 = 2(a + 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
הראשון והאחרון ריבועים, ובודקים את האיבר האמצעי: 2 · a · 3 = 6a ✓
a2 + 6a + 9 = (a + 3)2📐 ריבוע של סכוםa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
הפרש ריבועים:
a2 − 25 = a2 − 52
a2 − 25 = (a − 5)(a + 5)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
2(a + 3)2(a − 5)(a + 3)2(a + 5)(a − 5)
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (a − 5) , (a + 3)2📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
2(a + 5)
✅ פתרון סופי: 2(a + 5)
🟣 תרגיל 23: x2 − 1x2 − 4x · x2 − 16x2 + x : x2 + 3x − 4x2
פשטו: x2 − 1x2 − 4x · x2 − 16x2 + x : x2 + 3x − 4x2📖 פתרון מלא:
x2(x + 1)(x + 4)(x − 1)(x − 4)x2(x + 1)(x + 4)(x − 1)(x − 4)
חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך:📐 חילוק שבריםab : cd = ab · dc
x2 − 1x2 − 4x · x2 − 16x2 + x · x2x2 + 3x − 4
מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה:
הפרש ריבועים:
x2 − 1 = x2 − 12
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
הפרש ריבועים:
x2 − 16 = x2 − 42
x2 − 16 = (x − 4)(x + 4)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
גורם משותף: x.
x2 − 4x = x(x − 4)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
גורם משותף: x.
x2 + x = x(x + 1)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
טרינום x2 + 3x − 4: מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם −4 והסכום שלהם 3. אלה המספרים −1 ו־4:
(−1) · 4 = −4
(−1) + 4 = 3
x2 + 3x − 4 = (x − 1)(x + 4)📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כותבים הכל כשבר אחד: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, וכל ביטוי כגורמים:📐 כפל שבריםab · cd = a · cb · d
מצמצמים גורמים זהים במונה ובמכנה: (x − 1) , (x + 1) , (x − 4) , (x + 4) , x2📐 צמצום שברa · cb · c = ab
אחרי הצמצום נשאר:
1
✅ פתרון סופי: 1
💡 לזכור
1. חילוק בשבר = כפל בשבר ההפוך. 2. מפרקים לגורמים כל מונה וכל מכנה. 3. מצמצמים רק גורמים (סוגריים שלמים או מספרים שכופלים), אף פעם לא איבר מתוך סכום ✅
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il