מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 20 – תרגילים נוספים: משוואות ריבועיות (ללא סרטון)
טכניקה אלגברית · משוואות ריבועיות · שיעור 20 · ללא סרטון
📝 תרגילים נוספים – משוואות ריבועיות
משוואה חסרה, פירוק טרינום עם מספרים גדולים, ונוסחת השורשים
📌 תרגילים ללא סרטון: קודם כל התרגילים, ואחריהם פתרון מלא לכל תרגיל
איך מתרגלים?
- מעתיקים את התרגילים למחברת ופותרים לבד.
- רק אחר כך יורדים לפתרונות המלאים ומשווים.
- יצא משהו אחר? מחפשים את השלב הראשון שבו הפתרון שלכם שונה.
✏️ התרגילים
תשעה תרגילים: קודם משוואות חסרות (חסר c, חסר b), אחר כך פירוק טרינום עם מספרים גדולים ועם מקדם שלילי, ובסוף נוסחת השורשים ומשוואה שצריך קודם לסדר.
1פתרו: 3x2 − 12x = 0 קל
2פתרו: 2x2 − 72 = 0 קל
3פתרו: 5x2 + 20 = 0 קל
4פתרו: x2 − x − 110 = 0 בינוני
5פתרו: x2 + 3x − 108 = 0 בינוני
6פתרו: −x2 + 4x + 21 = 0 בינוני
7פתרו: 2x2 − 7x − 15 = 0 מאתגר
8פתרו: 6x2 + x − 12 = 0 מאתגר
9פתרו: (x + 2)(x − 6) = −x − 2 מאתגר
📖 פתרונות מלאים
🔵 תרגיל 1: 3x2 − 12x = 0
פתרו: 3x2 − 12x = 0📖 פתרון מלא:
חסר המספר החופשי (c = 0). מוציאים גורם משותף 3x:
3x(x − 4) = 0📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
כל גורם שווה 0:📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
3x = 0 ⟹ x = 0
x − 4 = 0 ⟹ x = 4
בדיקה: 3 · 0 − 12 · 0 = 0 ✓ , 3 · 16 − 12 · 4 = 48 − 48 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = 0 או x = 4
🟣 תרגיל 2: 2x2 − 72 = 0
פתרו: 2x2 − 72 = 0📖 פתרון מלא:
חסר האיבר עם x (b = 0). מעבירים את −72 לאגף השני בפלוס:
2x2 = 72📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b
x2 = 722 = 36📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca
מוציאים שורש. לא לשכוח: פלוס ומינוס!
x = ±√36 = ±6📐 הוצאת שורשx2 = k ⟹ x = ±√k (כאשר k ≥ 0)
בדיקה: 2 · 36 − 72 = 0 ✓ (גם עבור 6 וגם עבור −6)
✅ פתרון סופי: x = 6 או x = −6
🟢 תרגיל 3: 5x2 + 20 = 0
פתרו: 5x2 + 20 = 0📖 פתרון מלא:
מעבירים את 20 לאגף השני במינוס:
5x2 = −20📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b
x2 = −205 = −4📐 חוק הסימנים בחילוק−ab = −ab
ריבוע של מספר הוא תמיד 0 או חיובי, ולכן אין מספר שהריבוע שלו −4.📐 ריבועx2 ≥ 0
✅ פתרון סופי: אין פתרון
🔵 תרגיל 4: x2 − x − 110 = 0
פתרו: x2 − x − 110 = 0📖 פתרון מלא:
כאן a = 1, ולכן מפרקים טרינום: מה כפול מה שווה −110, ומה ועוד מה שווה −1?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 1.
ההפרש הוא רק 1, ולכן מחפשים שני מספרים צמודים: 10 · 11 = 110.
מה כפול מה: (−11) · 10 = −110 ✓ מה ועוד מה: (−11) + 10 = −1 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
(x − 11)(x + 10) = 0
כל גורם שווה 0:📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
x − 11 = 0 ⟹ x = 11
x + 10 = 0 ⟹ x = −10
בדיקה: 112 − 11 − 110 = 121 − 121 = 0 ✓
(−10)2 − (−10) − 110 = 100 + 10 − 110 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = 11 או x = −10
🟣 תרגיל 5: x2 + 3x − 108 = 0
פתרו: x2 + 3x − 108 = 0📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה −108, ומה ועוד מה שווה 3?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום חיובי ← המספר הגדול בזוג הוא החיובי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 3.
זוגות שהכפל שלהם 108: 1 · 108 , 2 · 54 , 3 · 36 , 4 · 27 , 6 · 18 , 9 · 12
מה כפול מה: 12 · (−9) = −108 ✓ מה ועוד מה: 12 + (−9) = 3 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
(x + 12)(x − 9) = 0
כל גורם שווה 0: x = −12 או x = 9📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
בדיקה: 92 + 3 · 9 − 108 = 81 + 27 − 108 = 0 ✓
(−12)2 + 3 · (−12) − 108 = 144 − 36 − 108 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = −12 או x = 9
🟢 תרגיל 6: −x2 + 4x + 21 = 0
פתרו: −x2 + 4x + 21 = 0📖 פתרון מלא:
המקדם של x2 שלילי. נוח יותר לכפול את שני האגפים ב־(−1), וכל הסימנים מתהפכים (0 · (−1) = 0):
x2 − 4x − 21 = 0📐 כפל ב־(−1)A = 0 ⟹ −A = 0
מה כפול מה שווה −21, ומה ועוד מה שווה −4? (−7) · 3 = −21 , (−7) + 3 = −4
(x − 7)(x + 3) = 0📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כל גורם שווה 0: x = 7 או x = −3📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
בדיקה: −49 + 28 + 21 = 0 ✓ , −9 − 12 + 21 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = 7 או x = −3
🔵 תרגיל 7: 2x2 − 7x − 15 = 0
פתרו: 2x2 − 7x − 15 = 0📖 פתרון מלא:
כאן a = 2, ולכן משתמשים בנוסחת השורשים. מזהים מקדמים עם הסימנים:
a = 2 , b = −7 , c = −15
קודם מחשבים את מה שבתוך השורש:
b2 − 4ac = (−7)2 − 4 · 2 · (−15)
= 49 + 120 = 169📐 חוק הסימנים בכפל−a · (−b) = ab
√169 = 13. מציבים בנוסחה. שימו לב: −b = −(−7) = 7
x = 7 ± 132 · 2 = 7 ± 134📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
x₁ = 7 + 134 = 204 = 5
x₂ = 7 − 134 = −64 = −32
בדיקה: 2 · 25 − 7 · 5 − 15 = 50 − 35 − 15 = 0 ✓
2 · 94 − 7 · (−32) − 15 = 92 + 212 − 15 = 0 ✓
אפשר גם בפירוק (ראו תרגיל 11 בתרגילים הנוספים של פירוק טרינום): (x − 5)(2x + 3) = 0
✅ פתרון סופי: x = 5 או x = −32
🟣 תרגיל 8: 6x2 + x − 12 = 0
פתרו: 6x2 + x − 12 = 0📖 פתרון מלא:
מזהים מקדמים עם הסימנים:
a = 6 , b = 1 , c = −12
b2 − 4ac = 12 − 4 · 6 · (−12)
= 1 + 288 = 289📐 חוק הסימנים בכפל−a · (−b) = ab
√289 = 17, כי 17 · 17 = 289.
x = −1 ± 172 · 6 = −1 ± 1712📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
x₁ = −1 + 1712 = 1612 = 43
x₂ = −1 − 1712 = −1812 = −32
מצמצמים: 1612 ב־4, ו־1812 ב־6.
בדיקה: 6 · 169 + 43 − 12 = 323 + 43 − 12 = 12 − 12 = 0 ✓
6 · 94 − 32 − 12 = 272 − 32 − 12 = 12 − 12 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = 43 או x = −32
🟢 תרגיל 9: (x + 2)(x − 6) = −x − 2
פתרו: (x + 2)(x − 6) = −x − 2📖 פתרון מלא:
זהירות: באגף השני אין 0, ולכן אי אפשר להשוות כל סוגריים ל־0. קודם פותחים סוגריים:
x2 − 6x + 2x − 12 = −x − 2📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
x2 − 4x − 12 = −x − 2📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x
מעבירים הכול לאגף הראשון (מי שעובר אגף מחליף סימן):
x2 − 4x + x − 12 + 2 = 0📐 העברת אגפיםax = bx + c ⟹ ax − bx = c
x2 − 3x − 10 = 0📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x
מה כפול מה שווה −10, ומה ועוד מה שווה −3? (−5) · 2 = −10 , (−5) + 2 = −3
(x − 5)(x + 2) = 0📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כל גורם שווה 0: x = 5 או x = −2📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
בדיקה: (5 + 2)(5 − 6) = 7 · (−1) = −7 , −5 − 2 = −7 ✓
(−2 + 2)(−2 − 6) = 0 , 2 − 2 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = 5 או x = −2
💡 לזכור
קודם תמיד מסדרים ל־… = 0. חסר c ← גורם משותף. חסר b ← מבודדים x2 ומוציאים שורש (פלוס ומינוס). a = 1 עם מספרים נוחים ← פירוק טרינום. אחרת ← נוסחת השורשים. ובסוף בודקים ✅
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il