מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 21 – משוואה עם x במכנה – תחום הגדרה
טכניקה אלגברית · משוואות ריבועיות עם מכנים · שיעור 21
📄 דף הסבר: משוואה עם x במכנה – תחום הגדרה
קובעים תחום הגדרה, כופלים במכנה המשותף ומקבלים משוואה ריבועית
🎬 סרטון הסבר
מהירות:
הכלל
מכנה ≠ 0
ax · x = a
קודם כותבים תחום הגדרה: אילו ערכים של x מאפסים מכנה.
אחר כך כופלים כל איבר במכנה המשותף.
מתי?
כשיש x במכנה, כמו 6x או 3x − 2.
אחרי הכפל יוצאת בדרך כלל משוואה ריבועית, ופותרים אותה כמו שלמדנו.
שלביםפתרון משוואה עם מכנים
1תחום הגדרה
כל מכנה ≠ 0. כותבים את הערכים האסורים.
2כופלים
כופלים כל איבר במכנה המשותף ומצמצמים.
3פותרים
מסדרים ל־0 ופותרים משוואה ריבועית.
4בודקים בתחום
מוודאים שכל פתרון נמצא בתחום ההגדרה.
תחום הגדרה · כופלים במכנה המשותף · פותרים · בודקים בתחום ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
שלוש משוואות עם x במכנה. בכל אחת מתחילים בתחום ההגדרה.
🔵 תרגיל 1: x + 6x = 5
פתרו: x + 6x = 5
תחום הגדרה: x ≠ 0📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0
המכנה הוא x. כופלים כל איבר ב־x:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף
x · x + x · 6x = 5 · x
x2 + 6 = 5x
מעבירים את 5x לאגף הראשון במינוס:
x2 − 5x + 6 = 0📐 העברת אגפיםax = bx + c ⟹ ax − bx = c
מה כפול מה שווה 6, ומה ועוד מה שווה −5? −2 ו־−3.
(x − 2)(x − 3) = 0📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x = 2 או x = 3. שניהם בתחום ✓📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
בדיקה: 2 + 62 = 2 + 3 = 5 ✓ , 3 + 63 = 3 + 2 = 5 ✓
✅ פתרון סופי: x = 2 או x = 3
🟣 תרגיל 2: 3x − 2 = x
פתרו: 3x − 2 = x
תחום הגדרה: x − 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0
כופלים את שני האגפים ב־(x − 2):📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף
3 = x(x − 2)
3 = x2 − 2x📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac
0 = x2 − 2x − 3📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b
מה כפול מה שווה −3, ומה ועוד מה שווה −2? (−3) · 1 = −3 , (−3) + 1 = −2
(x − 3)(x + 1) = 0📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x = 3 או x = −1. שניהם שונים מ־2 ✓📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
בדיקה: 33 − 2 = 3 ✓ , 3−1 − 2 = −1 ✓
✅ פתרון סופי: x = 3 או x = −1
🟢 תרגיל 3: 2x + 3x + 1 = 2
פתרו: 2x + 3x + 1 = 2
תחום הגדרה: x ≠ 0 , x + 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ −1📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0
המכנה המשותף הוא x(x + 1). כופלים כל איבר בו ומצמצמים:
2(x + 1) + 3x = 2x(x + 1)📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף
2x + 2 + 3x = 2x2 + 2x📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac
5x + 2 = 2x2 + 2x📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x
0 = 2x2 + 2x − 5x − 2📐 העברת אגפיםax = bx + c ⟹ ax − bx = c
2x2 − 3x − 2 = 0
כאן a = 2, ולכן נוסחת השורשים: a = 2 , b = −3 , c = −2
b2 − 4ac = 9 + 16 = 25
x = 3 ± 54📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
x₁ = 84 = 2
x₂ = −24 = −12
שני הפתרונות בתחום (שונים מ־0 ומ־−1) ✓
בדיקה: 22 + 33 = 1 + 1 = 2 ✓
2−12 + 312 = −4 + 6 = 2 ✓
✅ פתרון סופי: x = 2 או x = −12
💡 לזכור
תחום הגדרה כותבים לפני שכופלים. כופלים כל איבר במכנה המשותף, גם איבר בלי שבר.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il