מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 6 -משוואות עם שורשים-1
חקירת שורש · 5 יחידות · שאלון 571
📄 דף הסבר: משוואות עם שורשים
מבודדים את השורש, מעלים בריבוע, פותרים, ובודקים
מה הרעיון?
כדי להיפטר מהשורש מעלים בריבוע את שני האגפים, כי ריבוע מבטל שורש. עושים את אותה פעולה על שני האגפים, ולכן זה מותר.
ריבוע מבטל שורש
(√x)² = x
לכן קודם מבודדים את השורש לבד באגף אחד
למה בדיקה?
העלאה בריבוע יכולה להוליד פתרון חדש שלא נכון במשוואה המקורית. מציבים כל פתרון בתרגיל ההתחלתי, ופתרון שלא מקיים אותו נופל.
מתי חובה לבדוק?
אם אגף אחד שלילי – חובה לבדוק. אם שני האגפים חיוביים (שורש תמיד חיובי) – התוצאה בטוח נכונה. לא בטוחים? בודקים תמיד, ליתר ביטחון.
השיטה4 צעדים לפתרון משוואה עם שורש
1מבודדים את השורש
מעבירים אגפים כך שהשורש יישאר לבד. ככה לא צריך לפתוח סוגריים בכפל מקוצר אחרי ההעלאה בריבוע.
2מעלים בריבוע
מעלים בריבוע את שני האגפים. כל גורם עולה בריבוע, והשורש מתבטל.
3פותרים
פותרים את המשוואה שנשארה (משוואה רגילה או ריבועית).
4בדיקה
מציבים כל פתרון במשוואה המקורית. פתרון שלא מקיים אותה נופל. אם כל הפתרונות נפלו: אין פתרון.
מבודדים ← מעלים בריבוע ← פותרים ← בודקים ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו משוואות עם שורשים: מבודדים את השורש, מעלים בריבוע את שני האגפים, פותרים ועושים בדיקה. ראינו גם למה לפעמים פתרון נופל 👇
🔷 תרגיל 1: פתרון המשוואה 2√x − 6 = 0
פתרו את המשוואה 2√x − 6 = 0
מעבירים את ה־6 לצד השני, כך שהשורש לבד:
2√x = 6
מעלים בריבוע את שני האגפים. כל גורם עולה בריבוע:
2² = 4
(√x)² = x
4 · x = 36
מחלקים ב־4:
x = 9
למה העברנו קודם את ה־6? אם מעלים בריבוע מיד, מקבלים
(2√x − 6)²
ואז צריך לפתוח בנוסחת הכפל המקוצר
(a − b)² = (a − b)(a − b)
אפשר, אבל זה ארוך יותר.
בדיקה: מציבים 9 במשוואה המקורית. האם מתקיים:
2√9 − 6 = 0
2 · 3 − 6 = 0 ✓
שימו לב: √9 = 3 בלבד. רק במשוואה x² = 9 התשובה היא x = ±3
כאן שני האגפים חיוביים: 6 חיובי, וגם 2√x חיובי (שורש תמיד חיובי). לכן לא היינו חייבים לבדוק.
תשובה: x = 9
🔵 תרגיל 2: פתרון המשוואה √x = −3 (אין פתרון)
פתרו את המשוואה √x = −3
מעלים בריבוע את שני האגפים:
x = 9
האגף הימני שלילי, ולכן חובה לעשות בדיקה. האם מתקיים:
√9 = −3
3 ≠ −3
לכן הפתרון x = 9 נופל.
תשובה: אין פתרון לתרגיל
🟢 למה פתרונות נופלים? דוגמה
נתון: x = −3
מעלים בריבוע את שני האגפים (מותר, כי עושים את אותה פעולה בשני האגפים):
x² = 9
x = √9
x = ±3
קיבלנו גם x = 3 , אבל נתון ש־x = −3 בלבד.
הפתרון x = 3 "נולד" מההעלאה בריבוע, והוא לא נכון:
3 ≠ −3
לכן הוא נופל.
מסקנה: כשאגף אחד שלילי, חובה לעשות בדיקה.
💡 לזכור
משוואה עם שורש: מבודדים ← מעלים בריבוע ← פותרים ← בדיקה. אם אגף אחד שלילי, חובה לבדוק, כי העלאה בריבוע יכולה להוליד פתרון שנופל.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il