שיעור 11 – פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום

📄 נוסח השאלה

פתרו כל משוואה בתחום הנתון.

א. sin x = √32 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π

ב. cos x = −12 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π

ג. tan x = 1 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π

ד. cos x = √22 בתחום −π ≤ x ≤ π

ה. sin x = 0 בתחום −π ≤ x ≤ π

ו. sin 2x = 12 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π

✏️ פתרון

הסבר – פתרון משוואה טריגונומטרית בתחום

למשוואה טריגונומטרית יש אינסוף פתרונות, כי הפונקציות חוזרות על עצמן. בתרגיל תמיד נתון תחום, ומחפשים רק את הפתרונות שבתוכו. שלושה שלבים:

1. מוצאים זווית אחת שמקיימת את המשוואה – לרוב ערך מיוחד.

הערכים המיוחדים שכדאי לזכור:📐 ערכים מיוחדיםsin π6 = 12 , cos π6 = √32sin π4 = cos π4 = √22sin π3 = √32 , cos π3 = 12tan π4 = 1

2. רושמים את כל הפתרונות לפי הנוסחה, כאשר k מספר שלם:

בסינוס יש שתי משפחות של פתרונות:📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

גם בקוסינוס יש שתי משפחות:📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

בטנגנס יש משפחה אחת, כי הוא חוזר על עצמו כל π:📐 פתרון המשוואה tan x = tan ax = a + πk

3. מציבים k = 0 , ואחר כך k = 1 , −1 וכן הלאה, ושומרים רק את הפתרונות שנמצאים בתחום.

סעיף א – סינוס

הזווית שהסינוס שלה √32 היא π3 (כמו 60 מעלות):

sin π3 = √32📐 ערך מיוחדsin π3 = √32

לפי הנוסחה יש שתי משפחות:

x = π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

x = π − π3 + 2πk = 2π3 + 2πk

נציב k = 0 :

x = π3 , x = 2π3

עבור k = 1 מקבלים π3 + 2π – זה כבר גדול מ־2π . עבור k = −1 מקבלים מספרים שליליים. לכן יש בתחום רק שני פתרונות.

✅ פתרון סופי: x = π3 , x = 2π3

סעיף ב – קוסינוס שלילי

ידוע ש־cos π3 = 12 . אנחנו צריכים מינוס חצי, ולכן נשתמש בזווית π − π3 = 2π3 :

cos 2π3 = −cos π3 = −12📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos x

לפי הנוסחה של קוסינוס:

x = 2π3 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = −2π3 + 2πk

נציב k = 0 : מהמשפחה הראשונה x = 2π3 נמצא בתחום. מהשנייה x = −2π3 שלילי – לא בתחום.

נציב k = 1 במשפחה השנייה:

x = −2π3 + 2π = 4π3

במשפחה הראשונה k = 1 נותן 8π3 , שגדול מ־2π .

✅ פתרון סופי: x = 2π3 , x = 4π3

סעיף ג – טנגנס

tan π4 = 1📐 ערך מיוחדtan π4 = 1

בטנגנס יש משפחה אחת, ומוסיפים כל פעם π:

x = π4 + πk📐 פתרון המשוואה tan x = tan ax = a + πk

נציב k = 0 :

x = π4

נציב k = 1 :

x = π4 + π = 5π4

עבור k = 2 מקבלים 9π4 , שגדול מ־2π = 8π4 . לכן יש שני פתרונות.

✅ פתרון סופי: x = π4 , x = 5π4

סעיף ד – תחום עם מספרים שליליים

cos π4 = √22📐 ערך מיוחדcos π4 = √22

x = π4 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk

x = −π4 + 2πk

התחום הפעם הוא −π ≤ x ≤ π , כולל מספרים שליליים. נציב k = 0 :

x = π4 , x = −π4

שניהם בתחום. עבור k = 1 מקבלים π4 + 2π (גדול מ־π), ועבור k = −1 מקבלים −π4 − 2π (קטן מ־−π). לכן אין פתרונות נוספים.

✅ פתרון סופי: x = −π4 , x = π4

סעיף ה – סינוס שווה 0

sin 0 = 0📐 ערך מיוחדsin 0 = 0

לפי הנוסחה:

x = 0 + 2πk = 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

x = π − 0 + 2πk = π + 2πk

במשפחה הראשונה, k = 0 נותן x = 0 . k = ±1 נותן ±2π – מחוץ לתחום.

במשפחה השנייה, k = 0 נותן x = π , ו־k = −1 נותן:

x = π − 2π = −π

הקצוות ±π נכללים, כי בתחום כתוב ≤ .

✅ פתרון סופי: x = −π , x = 0 , x = π

סעיף ו – זווית כפולה

כאן הזווית היא 2x . פותרים קודם בשביל 2x , ורק בסוף מחלקים ב־2.

sin π6 = 12📐 ערך מיוחדsin π6 = 12

2x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

2x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk

מחלקים כל איבר ב־2 – גם את 2πk , שהופך ל־πk :

x = π12 + πk

x = 5π12 + πk

כי מוסיפים רק π בכל פעם, יהיו יותר פתרונות בתחום. נציב k = 0 :

x = π12 , x = 5π12

נציב k = 1 :

x = π12 + π = 13π12

x = 5π12 + π = 17π12

עבור k = 2 מקבלים 25π12 , שגדול מ־2π = 24π12 . לכן יש ארבעה פתרונות.

✅ פתרון סופי: x = π12 , 5π12 , 13π12 , 17π12

📌 סיכום

סעיף א	x = π3 , 2π3
סעיף ב	x = 2π3 , 4π3
סעיף ג	x = π4 , 5π4
סעיף ד	x = −π4 , π4
סעיף ה	x = −π , 0 , π
סעיף ו	x = π12 , 5π12 , 13π12 , 17π12

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים