שיעור 48 – בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 5

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 5
פתרון מלא

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (AB ∥ DC).

נתון כי אורך הבסיס AB שווה לאורך הצלע BC.

נסמן: AB = BC = k; הזווית ∢ACB היא זווית חדה (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נקרא לה פשוט ∢ACB).

א. הראו כי AC = 2k · cos∢ACB.

נתון: DC = 2k , AD = 1.2k.

ב. מצאו את גודל הזווית ∢ACB.

ג. מצאו את גודל הזווית ADC.

המשכי הצלעות DA ו־CB נחתכים בנקודה E.

נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש EDC הוא 14.

ד. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון

סעיף א – הראו כי AC = 2k · cos∢ACB

במשולש ABC: AB = BC = k, ולכן הוא שווה שוקיים עם בסיס AC.📐 משפטבמשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון

נוריד גובה BN לבסיס AC. הנקודה N היא אמצע AC, כלומר AC = 2 · NC.

במשולש ישר הזווית BNC (∢BNC = 90 מעלות), BC = k הוא היתר ו־NC הוא הניצב ליד הזווית ∢ACB:

cos∢ACB = NCBC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

נציב BC = k:

cos∢ACB = NCk

NC = k · cos∢ACB

AC = 2 · NC

נציב NC = k · cos∢ACB:

AC = 2 · k · cos∢ACB = 2k · cos∢ACB

✅ פתרון סופי: הוכח: AC = 2k · cos∢ACB

סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB

AB ∥ DC, ולכן:📐 משפטזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות

∢ACD = ∢BAC = ∢ACB

(השוויון ∢BAC = ∢ACB – זוויות הבסיס במשולש שווה השוקיים ABC.)

נוריד גובה AH מ־A לצלע DC. במשולש ישר הזווית AHC, היתר הוא AC = 2k · cos∢ACB והזווית ליד C היא ∢ACB:

AH = AC · sin∢ACB📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר

נציב AC = 2k · cos∢ACB:

AH = 2k · cos∢ACB · sin∢ACB

HC = AC · cos∢ACB📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

נציב AC = 2k · cos∢ACB:

HC = 2k · cos∢ACB · cos∢ACB = 2k · cos²∢ACB

DH = DC − HC

נציב DC = 2k ו־HC = 2k · cos²∢ACB:

DH = 2k − 2k · cos²∢ACB

DH = 2k(1 − cos²∢ACB)

נציב 1 − cos²∢ACB = sin²∢ACB:

DH = 2k · sin²∢ACB📐 נוסחה: זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

במשולש ישר הזווית AHD נשתמש במשפט פיתגורס:

AD² = AH² + DH²📐 משפט: משפט פיתגורסa² + b² = c²

נציב AH = 2k · cos∢ACB · sin∢ACB ו־DH = 2k · sin²∢ACB:

AD² = (2k · cos∢ACB · sin∢ACB)² + (2k · sin²∢ACB)²

AD² = 4k² · cos²∢ACB · sin²∢ACB + 4k² · sin⁴∢ACB

AD² = 4k² · sin²∢ACB · (cos²∢ACB + sin²∢ACB)

נציב cos²∢ACB + sin²∢ACB = 1:

AD² = 4k² · sin²∢ACB📐 נוסחה: זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

AD = 2k · sin∢ACB

נציב AD = 1.2k:

1.2k = 2k · sin∢ACB

sin∢ACB = 1.2k2k = 0.6

הזווית חדה, ולכן:

∢ACB ≈ 36.87 מעלות

✅ פתרון סופי: ∢ACB ≈ 36.87 מעלות

סעיף ג – גודל הזווית ADC

cos∢ACB = √1 − sin∢ACB²

נציב sin∢ACB = 0.6 (סעיף ב):

cos∢ACB = √1 − 0.6² = √0.64📐 נוסחה: זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

cos∢ACB = 0.8

AC = 2k · cos∢ACB

נציב cos∢ACB = 0.8:

AC = 2k · 0.8 = 1.6k

נבדוק את צלעות המשולש ACD: AC = 1.6k , AD = 1.2k , DC = 2k.

AC² + AD² = (1.6k)² + (1.2k)² = 2.56k² + 1.44k² = 4k²

DC² = (2k)² = 4k²

AC² + AD² = DC², ולכן הזווית שמול DC ישרה:📐 משפטהמשפט ההפוך למשפט פיתגורס

∢DAC = 90 מעלות

סכום הזוויות במשולש ACD:📐 משפטסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢ADC = 180 − ∢DAC − ∢ACD

נציב ∢DAC = 90 ו־∢ACD = ∢ACB ≈ 36.87:

∢ADC = 180 − 90 − 36.87

∢ADC = 53.13 מעלות

✅ פתרון סופי: ∢ADC ≈ 53.13 מעלות

סעיף ד – הערך של k

נמצא את הזוויות במשולש EDC:

∢EDC = ∢ADC = 53.13 מעלות

∢ECD = ∢BCA + ∢ACD

נציב ∢BCA = ∢ACD ≈ 36.87:

∢ECD = 36.87 + 36.87 = 73.74 מעלות

📐 משפטסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢DEC = 180 − ∢EDC − ∢ECD

נציב ∢EDC = 53.13 ו־∢ECD = 73.74:

∢DEC = 180 − 53.13 − 73.74

∢DEC = 53.13 מעלות

∢DEC = ∢EDC, ולכן המשולש EDC שווה שוקיים: CE = CD = 2k.📐 משפטמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

לפי סעיף ג CA ⊥ ED, כלומר CA הוא הגובה לבסיס ED.📐 משפטבמשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית הראש

AE = AD = 1.2k

מרכז המעגל החסום, I, הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות. CA חוצה את ∢ECD, ולכן I נמצא על CA.📐 משפטמרכז המעגל החסום במשולש – מפגש חוצי הזוויות

המעגל משיק ל־ED, והרדיוס לנקודת ההשקה מאונך ל־ED. הקטע IA מאונך ל־ED, ולכן נקודת ההשקה היא A ו־IA = 14.📐 משפטרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק

DI חוצה את הזווית ∢ADC:

∢IDA = ∢ADC2

נציב ∢ADC = 53.13:

∢IDA = 53.132 ≈ 26.57 מעלות

במשולש ישר הזווית IAD (∢IAD = 90 מעלות):

tan∢IDA = IAAD📐 נוסחה: tan במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית

נציב ∢IDA ≈ 26.57 , IA = 14 ו־AD = 1.2k:

tan(26.57) = 141.2k

0.5 = 141.2k

1.2k · 0.5 = 14

0.6k = 14

k = 140.6 = 703 ≈ 23.33

בדיקה בדרך אחרת – בעזרת השטח וחצי ההיקף של המשולש EDC (הבסיס ED = 2 · 1.2k = 2.4k, הגובה CA = 1.6k):

S = 12 · ED · CA

נציב ED = 2.4k ו־CA = 1.6k:

S = 12 · 2.4k · 1.6k = 1.92k²

p = 2k + 2k + 2.4k2 = 3.2k

r = Sp📐 נוסחה: רדיוס המעגל החסוםr = Sp (p – חצי היקף)

נציב S = 1.92k² ו־p = 3.2k:

r = 1.92k²3.2k = 0.6k

אותה משוואה 0.6k = 14 ✓

✅ פתרון סופי: k = 703 ≈ 23.33

📌 סיכום

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	≈ 36.87 מעלות
סעיף ג	≈ 53.13 מעלות
סעיף ד	k = 703 ≈ 23.33

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים