מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
חורף 2024 – שאלה 4
📅 חורף 2024, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו־B. C היא נקודה על המעגל הימני.
המשכי הקטעים CA ו־CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו־E בהתאמה.
הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר בסרטוט.
המשכי הקטעים CF ו־DE נפגשים בנקודה G.
א. הוכיחו: ∢EDA = ∢CBA.
ב. הוכיחו: המרובע GDAF הוא בר חסימה במעגל.
המיתרים AF ו־BC נפגשים בנקודה H.
נתון: ∢GEC = ∢CHA.
ג. הוכיחו: CGCD = GEDE.
נתון: CE מאונך ל־AB. CD = 36 , DE = 18.
ד. חשבו את אורכי הקטעים EG ו־CG.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־∢EDA = ∢CBA
המרובע ABED חסום במעגל השמאלי. הנקודות E , B , C על ישר אחד, ולכן ∢CBA היא זווית חיצונית של המרובע בקדקוד B.
∢CBA = ∢EDA – הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה (בקדקוד D).📐 מרובע חסום במעגלזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה
∢EDA = ∢CBA
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – המרובע GDAF בר חסימה
במעגל הימני הזוויות ההיקפיות ∢CBA ו־∢CFA נשענות על אותה קשת AC:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢CFA = ∢CBA
לפי סעיף א:
∢CFA = ∢CBA = ∢EDA = ∢GDA
הנקודות G , F , C על ישר אחד, ולכן ∢CFA היא זווית חיצונית של המרובע GDAF בקדקוד F, והיא שווה לזווית הפנימית שמולה, ∢GDA.
לכן המרובע GDAF בר חסימה.📐 מרובע בר חסימהאם זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה – המרובע בר חסימה
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ג – הוכחה ש־CG : CD = GE : DE
נראה ש־CE חוצה את הזווית ∢DCG.
במשולש CED, הזווית ∢GEC חיצונית (G, E, D על ישר אחד):📐 זווית חיצונית במשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
∢GEC = ∢EDC + ∢ECD
לפי סעיפים א ו־ב, ∢EDC = ∢EDA = ∢CFA. וגם ∢ECD = ∢BCA. לכן:
∢GEC = ∢CFA + ∢BCA
במשולש CHF, הזווית ∢CHA חיצונית (A, H, F על ישר אחד):📐 זווית חיצונית במשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
∢CHA = ∢HFC + ∢HCF
= ∢CFA + ∢BCF
נתון ∢GEC = ∢CHA, ולכן:
∢CFA + ∢BCA = ∢CFA + ∢BCF
∢BCA = ∢BCF
כלומר ∢ECD = ∢ECG: CE חוצה את הזווית ∢DCG במשולש DCG.
CGCD = GEDE📐 משפט חוצה הזוויתחוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ד – אורכי EG ו־CG
CE ⊥ AB, ו־B על CE, ולכן ∢CBA = 90. לפי סעיף א:
∢EDA = ∢CBA = 90
לכן המשולש GDC ישר זווית ב־D, ו־CE חוצה את הזווית C (סעיף ג). נסמן EG = x:
CG36 = x18📐 משפט חוצה הזווית (סעיף ג)CGCD = GEDE
CG = 2x
DG = DE + EG = 18 + x
CG2 = CD2 + DG2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
(2x)2 = 362 + (18 + x)2
4x2 = 1296 + 324 + 36x + x2
3x2 − 36x − 1620 = 0
x2 − 12x − 540 = 0
x = 12 ± √(144 + 2160)2 = 12 ± 482📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x = 30
(x = −18 נפסל – אורך חיובי.)
EG = 30 , CG = 2 · 30 = 60
✅ פתרון סופי: EG = 30 , CG = 60
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח |
|---|---|
| סעיף ב | הוכח |
| סעיף ג | הוכח |
| סעיף ד | EG = 30 , CG = 60 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il