שיעור 13 – מחזור של פונקציה

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

מחזור של פונקציה

📄 נוסח השאלה

מצאו את המחזור של כל פונקציה.

א. f(x) = sin 3x . הראו גם ש־f(x + T) = f(x) .

ב. f(x) = cos x2

ג. f(x) = tan 2x

ד. f(x) = sin 2x + cos 2x

ה. f(x) = sin 2x + 2cos x

ו. f(x) = cos 4x . כמה מחזורים שלמים יש בתחום 0 ≤ x ≤ 2π ?

✏️ פתרון

הסבר – מחזור של פונקציה

פונקציה טריגונומטרית חוזרת על עצמה. המחזור T הוא המרחק הקטן ביותר שאחריו הגרף חוזר בדיוק, כלומר f(x + T) = f(x) .

הפונקציות sin x ו־cos x חוזרות כל 2π , והפונקציה tan x חוזרת כל π .

כשבפנים יש ax , מחלקים את המחזור הבסיסי ב־a :📐 מחזור של פונקציה טריגונומטריתsin(ax) , cos(ax) : T = 2πatan(ax) : T = πa

סכום של פונקציות: אם לכל האיברים אותו מחזור, זה גם המחזור של הסכום. אם המחזורים שונים, המחזור של הסכום הוא המספר הקטן ביותר שהוא כפולה של כל המחזורים.

למה זה חשוב בחקירה? מה שקורה בגרף במחזור אחד חוזר בכל מחזור: אותן נקודות קיצון, אותה עלייה וירידה. לכן מספיק לחקור את הפונקציה על מחזור אחד. בבגרות נותנים לרוב תחום שאורכו מחזור אחד, כמו 0 ≤ x ≤ 2π .

סעיף א – סינוס של 3x

בתוך הסינוס יש 3x , ולכן a = 3 :

T = 2π3📐 מחזור של פונקציה טריגונומטריתsin(ax) , cos(ax) : T = 2πatan(ax) : T = πa

בדיקה: נכתוב את הפונקציה ונסמן את x :

f(x) = sin 3x

נציב x + 2π3 במקום x :

f(x + 2π3) = sin 3(x + 2π3)

פותחים סוגריים:

f(x + 2π3) = sin(3x + 2π)

הוספה של 2π לזווית לא משנה את הסינוס:

f(x + 2π3) = sin 3x = f(x)📐 המחזור של סינוסsin(t + 2π) = sin t

✅ פתרון סופי: T = 2π3

סעיף ב – חצי זווית

נשים לב ש־x2 = 12 · x , ולכן a = 12 :

T = 2π12📐 מחזור של פונקציה טריגונומטריתsin(ax) , cos(ax) : T = 2πatan(ax) : T = πa

חלוקה בחצי היא כפל ב־2:

T = 2π · 2 = 4π

הגרף "נמתח" – הוא חוזר על עצמו רק כל 4π .

✅ פתרון סופי: T = 4π

סעיף ג – טנגנס

בטנגנס המחזור הבסיסי הוא π . כאן a = 2 :

T = π2📐 מחזור של פונקציה טריגונומטריתsin(ax) , cos(ax) : T = 2πatan(ax) : T = πa

✅ פתרון סופי: T = π2

סעיף ד – סכום עם אותו מחזור

נמצא את המחזור של כל איבר. בשניהם a = 2 :

T(sin 2x) = 2π2 = π📐 מחזור של פונקציה טריגונומטריתsin(ax) , cos(ax) : T = 2πatan(ax) : T = πa

T(cos 2x) = 2π2 = π

לשני האיברים אותו מחזור, ולכן זה גם המחזור של הסכום.

✅ פתרון סופי: T = π

סעיף ה – סכום עם מחזורים שונים

נמצא את המחזור של כל איבר:

T(sin 2x) = 2π2 = π📐 מחזור של פונקציה טריגונומטריתsin(ax) , cos(ax) : T = 2πatan(ax) : T = πa

T(2cos x) = 2π

המחזורים שונים. מחפשים את המספר הקטן ביותר שהוא כפולה של שניהם. המספר 2π מתאים: הוא כפולה של π , כי:

2π = 2 · π

אחרי 2π האיבר הראשון השלים שני מחזורים והשני מחזור אחד – ושניהם חוזרים יחד.

✅ פתרון סופי: T = 2π

סעיף ו – כמה מחזורים בתחום

כאן a = 4 :

T = 2π4 = π2📐 מחזור של פונקציה טריגונומטריתsin(ax) , cos(ax) : T = 2πatan(ax) : T = πa

אורך התחום הוא 2π . נחלק אותו באורך מחזור אחד:

2π : π2 = 2π · 2π = 4

כלומר בתחום הזה הגרף חוזר על עצמו 4 פעמים – ומספיק לחקור רבע ממנו.

✅ פתרון סופי: T = π2 , 4 מחזורים

📌 סיכום

סעיף א	T = 2π3
סעיף ב	T = 4π
סעיף ג	T = π2
סעיף ד	T = π
סעיף ה	T = 2π
סעיף ו	T = π2 , 4 מחזורים

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים