מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 63- חקירת מנה עם פרמטר 1
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלת חקירה מלאה מבגרות 2016 א: מוצאים פרמטר, ואז חוקרים את הפונקציה ומשרטטים. כאן כל סעיף בכרטיס משלו 👇
📝 השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = m − 4x(x − 1)² , m הוא פרמטר. לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = 3 .
🔷 סעיפים א–ב
סעיף א: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)
המכנה שונה מ־0: (x − 1)² ≠ 0
תשובה: x ≠ 1
סעיף ב: מצא את ערך הפרמטר m
בנקודת קיצון f'(x) = 0 . גוזרים בנגזרת מנה, מכפילים במכנה ומציבים x = 3 :
−4(3 − 1)²
− (m − 12)(2·3 − 2) = 0
−16 − 4m + 48 = 0
32 = 4m
תשובה: m = 8
🔵 סעיף ג: חקירה (מציבים m = 8)
מציבים m = 8 : f(x) = 8 − 4x(x − 1)²
סעיף ג(1): מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים
סעיף ג(1): מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים
אנכית: הערך שמאפס את המכנה (ההפך מתחום ההגדרה) ← x = 1
אופקית: החזקה הכי גבוהה במונה 1, ובמכנה 2. החזקה במכנה גדולה יותר ← y = 0 (ציר x)
תשובה: x = 1 , y = 0
סעיף ג(2): מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים
עם ציר y ( x = 0 ):
f(0) = 8 − 0(0 − 1)² = 8
עם ציר x ( y = 0 ): שבר שווה 0 כשהמונה 0:
8 − 4x = 0
4x = 8
x = 2
נקודות החיתוך: (0 , 8) , (2 , 0)
סעיף ג(3): מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה), וקבע את סוגן
פותחים את המכנה: (x − 1)² = x² − 2x + 1 , וגוזרים:
נגזרת המונה כפול המכנה:
−4(x² − 2x + 1)
פחות נגזרת המכנה כפול המונה:
(2x − 2)(8 − 4x)
וכל זה חלקי המכנה בריבוע
משווים ל־0, מכפילים במכנה ופותחים סוגריים:
−4x² + 8x − 4
− (24x − 8x² − 16) = 0
4x² − 16x + 12 = 0 / :4
x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 ← לא בתחום ההגדרה!
x = 3 ← נקודה חשודה לקיצון
f(3) = 8 − 12(3 − 1)² = −44 = −1
בטבלה שמים את האסימפטוטה 1 ואת 3 , ומציבים ב־x² − 4x + 3 :
x = 0 ← 3 > 0 עולה
x = 2 ← −1 < 0 יורדת
x = 4 ← 3 > 0 עולה
(3 , −1) מינימום
עולה: x < 1 , x > 3
יורדת: 1 < x < 3
🟢 סעיף ד: סקיצה
סעיף ד: סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
מסמנים את האסימפטוטות: x = 1 (מקווקו) וציר x ( y = 0 )
מסמנים (0 , 8) , (2 , 0) ואת המינימום (3 , −1)
מימין ל־1: הגרף יורד מלמעלה ליד האסימפטוטה, חותך ב־(2 , 0) , מגיע למינימום ואז עולה ונצמד לציר x מלמטה
משמאל ל־1: הגרף עולה, נצמד לציר x משמאל, עובר ב־(0 , 8) ועולה ליד האסימפטוטה
🟣 סעיף ה
סעיף ה: היעזר בגרף שסרטטת, ומצא עבור אילו ערכי x מתקיים f(x) > 0 וגם f'(x) > 0
f(x) > 0 : הגרף מעל ציר x ← x < 1 וגם 1 < x < 2
f'(x) > 0 : הפונקציה עולה ← x < 1 וגם x > 3
צריך ששני התנאים יתקיימו יחד. בין 1 ל־2 הגרף מעל ציר x אבל יורד, אז זה לא מתאים
תשובה: x < 1
💡 לזכור
כשהנגזרת מתאפסת בנקודה שלא בתחום ההגדרה (כמו x = 1 כאן), פוסלים אותה. ו־f'(x) > 0 פירושו פשוט: איפה הפונקציה עולה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il