שיעור 14 – תרגילים נוספים: פירוק לגורמים (ללא סרטון)

טכניקה אלגברית · פירוק לגורמים · שיעור 14 · ללא סרטון

📝 תרגילים נוספים – פירוק לגורמים

גורם משותף, נוסחאות הכפל המקוצר, טרינום וצמצום שברים

📌 תרגילים ללא סרטון: קודם כל התרגילים, ואחריהם פתרון מלא לכל תרגיל

איך מתרגלים?

מעתיקים את התרגילים למחברת ופותרים לבד.
רק אחר כך יורדים לפתרונות המלאים ומשווים.
יצא משהו אחר? מחפשים את השלב הראשון שבו הפתרון שלכם שונה.

✏️ התרגילים

תשעה תרגילים מעורבים. בכל תרגיל שואלים קודם: יש גורם משותף? אחר כך: זה הפרש ריבועים, ריבוע של סכום או הפרש, או טרינום?

1פרקו: 6x² − 9x קל

2פרקו: 4x³y − 10x²y² קל

3פרקו: 49x² − 1 קל

4פרקו: 9x² − 30x + 25 בינוני

5פרקו: 2x² − 50 בינוני

6פרקו: x² − 2x − 35 בינוני

7פרקו: 3x² + 12x − 36 מאתגר

8פרקו: x³ − 6x² + 9x מאתגר

9צמצמו: x² − 4x − 21x² − 49 מאתגר

📖 פתרונות מלאים

🔵 תרגיל 1: 6x² − 9x

פרקו: 6x² − 9x📖 פתרון מלא:

מחפשים גורם משותף: המספרים 6 ו־9 מתחלקים ב־3, ובשני האיברים יש x. הגורם המשותף: 3x

מחלקים כל איבר ב־3x: 6x² : 3x = 2x , 9x : 3x = 3

6x² − 9x = 3x(2x − 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)

בדיקה: 3x(2x − 3) = 6x² − 9x ✓📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

✅ פתרון סופי: 3x(2x − 3)

🟣 תרגיל 2: 4x³y − 10x²y²

פרקו: 4x³y − 10x²y²📖 פתרון מלא:

המספרים 4 ו־10 מתחלקים ב־2. החזקה הקטנה של x היא x², והחזקה הקטנה של y היא y. הגורם המשותף: 2x²y

מחלקים כל איבר ב־2x²y: 4x³y : 2x²y = 2x , 10x²y² : 2x²y = 5y📐 חילוק חזקותx^m : xⁿ = x^{m − n}

4x³y − 10x²y² = 2x²y(2x − 5y)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)

בדיקה: 2x²y(2x − 5y) = 4x³y − 10x²y² ✓📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

✅ פתרון סופי: 2x²y(2x − 5y)

🟢 תרגיל 3: 49x² − 1

פרקו: 49x² − 1📖 פתרון מלא:

שני ריבועים עם מינוס ביניהם: 49x² = (7x)² , 1 = 1². כאן a = 7x , b = 1.

49x² − 1 = (7x − 1)(7x + 1)📐 הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

בדיקה: (7x − 1)(7x + 1) = 49x² + 7x − 7x − 1 = 49x² − 1 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

✅ פתרון סופי: (7x − 1)(7x + 1)

🔵 תרגיל 4: 9x² − 30x + 25

פרקו: 9x² − 30x + 25📖 פתרון מלא:

הראשון והאחרון ריבועים: 9x² = (3x)² , 25 = 5². כאן a = 3x , b = 5.

בודקים את האיבר האמצעי: 2 · 3x · 5 = 30x ✓ , והסימן שלו מינוס.

9x² − 30x + 25 = (3x − 5)²📐 ריבוע של הפרשa² − 2ab + b² = (a − b)²

בדיקה: (3x − 5)(3x − 5) = 9x² − 15x − 15x + 25 = 9x² − 30x + 25 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

✅ פתרון סופי: (3x − 5)²

🟣 תרגיל 5: 2x² − 50

פרקו: 2x² − 50📖 פתרון מלא:

50 הוא לא ריבוע, ולכן קודם מוציאים גורם משותף 2:

2x² − 50 = 2(x² − 25)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)

בתוך הסוגריים יש הפרש ריבועים: 25 = 5²

x² − 25 = (x − 5)(x + 5)📐 הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

2x² − 50 = 2(x − 5)(x + 5)

בדיקה: 2(x² + 5x − 5x − 25) = 2(x² − 25) = 2x² − 50 ✓

✅ פתרון סופי: 2(x − 5)(x + 5)

🟢 תרגיל 6: x² − 2x − 35

פרקו: x² − 2x − 35📖 פתרון מלא:

מה כפול מה שווה −35, ומה ועוד מה שווה −2?

הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 2.

זוגות שהכפל שלהם 35: 1 · 35 , 5 · 7

מה כפול מה: (−7) · 5 = −35 ✓ מה ועוד מה: (−7) + 5 = −2 ✓📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

x² − 2x − 35 = (x − 7)(x + 5)

בדיקה: (x − 7)(x + 5) = x² + 5x − 7x − 35 = x² − 2x − 35 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

✅ פתרון סופי: (x − 7)(x + 5)

🔵 תרגיל 7: 3x² + 12x − 36

פרקו: 3x² + 12x − 36📖 פתרון מלא:

3, 12 ו־36 מתחלקים כולם ב־3. קודם מוציאים גורם משותף:

3x² + 12x − 36 = 3(x² + 4x − 12)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)

עכשיו מפרקים את הטרינום שבסוגריים: מה כפול מה שווה −12, ומה ועוד מה שווה 4?

הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום חיובי ← המספר הגדול בזוג הוא החיובי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 4.

זוגות שהכפל שלהם 12: 1 · 12 , 2 · 6 , 3 · 4

מה כפול מה: 6 · (−2) = −12 ✓ מה ועוד מה: 6 + (−2) = 4 ✓📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

x² + 4x − 12 = (x + 6)(x − 2)

3x² + 12x − 36 = 3(x + 6)(x − 2)

בדיקה: 3(x² − 2x + 6x − 12) = 3(x² + 4x − 12) = 3x² + 12x − 36 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

✅ פתרון סופי: 3(x + 6)(x − 2)

🟣 תרגיל 8: x³ − 6x² + 9x

פרקו: x³ − 6x² + 9x📖 פתרון מלא:

בכל האיברים יש x. מוציאים גורם משותף x:

x³ − 6x² + 9x = x(x² − 6x + 9)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)

בסוגריים: x² = (x)² , 9 = 3² , והאמצעי: 2 · x · 3 = 6x ✓

x² − 6x + 9 = (x − 3)²📐 ריבוע של הפרשa² − 2ab + b² = (a − b)²

x³ − 6x² + 9x = x(x − 3)²

בדיקה: x(x² − 6x + 9) = x³ − 6x² + 9x ✓

✅ פתרון סופי: x(x − 3)²

🟢 תרגיל 9: x² − 4x − 21x² − 49

צמצמו: x² − 4x − 21x² − 49📖 פתרון מלא:

מצמצמים רק אחרי פירוק. מפרקים את המונה: מה כפול מה שווה −21, ומה ועוד מה שווה −4? (−7) · 3 = −21 , (−7) + 3 = −4

x² − 4x − 21 = (x − 7)(x + 3)📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

מפרקים את המכנה. 49 = 7²:

x² − 49 = (x − 7)(x + 7)📐 הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

תחום הגדרה: x ≠ 7 , x ≠ −7📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

מצמצמים את (x − 7):

(x − 7)(x + 3)(x − 7)(x + 7) = x + 3x + 7📐 צמצום שברa · cb · c = ab

✅ פתרון סופי: x + 3x + 7 (x ≠ ±7)

💡 לזכור

סדר הבדיקה: 1. גורם משותף. 2. הפרש ריבועים או ריבוע של סכום או הפרש. 3. טרינום: מה כפול מה, ומה ועוד מה. ולפעמים צריך שני שלבים, כמו בתרגילים 5, 7 ו־8 ✅

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

שיעור 14 – תרגילים נוספים: פירוק לגורמים (ללא סרטון)

📝 תרגילים נוספים – פירוק לגורמים

איך מתרגלים?

✏️ התרגילים

📖 פתרונות מלאים

🔵 תרגיל 1: 6x2 − 9x

🟣 תרגיל 2: 4x3y − 10x2y2

🟢 תרגיל 3: 49x2 − 1

🔵 תרגיל 4: 9x2 − 30x + 25

🟣 תרגיל 5: 2x2 − 50

🟢 תרגיל 6: x2 − 2x − 35

🔵 תרגיל 7: 3x2 + 12x − 36

🟣 תרגיל 8: x3 − 6x2 + 9x

🟢 תרגיל 9: x2 − 4x − 21x2 − 49