חורף 2026 – שאלה 4

📅 חורף 2026, שאלה 4

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית ABC החסום במעגל.

הנקודה K נמצאת על המשך הצלע AB כך ש־AB = BK.

המשך הקטע KC חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה F.

נתון: ∢BAC = ∢BCA.

משולש ABC חסום במעגל, K על המשך AB, F על המשך KC – הסרטוט מהשאלון

א. הוכיחו כי AF הוא קוטר במעגל.

המיתרים BF ו־AC נחתכים בנקודה D.

ב. הוכיחו כי המשולש ADK הוא שווה שוקיים.

ג. (1) הוכיחו כי המרובע BDCK הוא בר חסימה במעגל.

(2) הוכיחו כי ∢DKC = ∢FAC.

ד. הוכיחו כי AC · AD = KC · AF.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – AF קוטר

נסמן ∢BAC = ∢BCA = x.

במשולש ABC: ∢BAC = ∢BCA, ולכן BA = BC.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

נתון AB = BK, ולכן BC = BK.

במשולש BCK: BC = BK, ולכן ∢BCK = ∢BKC. נסמן אותן y.📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

במשולש AKC: הזווית ב־A היא x, הזווית ב־K היא y, והזווית ב־C היא ∢ACK = ∢ACB + ∢BCK = x + y:

x + y + (x + y) = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות

2x + 2y = 180

x + y = 90

∢ACK = 90

F על המשך KC, ולכן ∢ACF = 180 − 90 = 90.📐 זוויות צמודותסכומן 180 מעלות

∢ACF היא זווית היקפית של 90 מעלות הנשענת על AF, ולכן AF קוטר.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

✅ פתרון סופי: ∢ACF = 90 ולכן AF קוטר

סעיף ב – ADK שווה שוקיים

AF קוטר (סעיף א), ולכן הזווית ההיקפית ∢ABF = 90.📐 זווית היקפיתזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90 מעלות

D על BF, ולכן DB ⊥ AK: ∢ABD = ∢KBD = 90.

נשווה את המשולשים ABD ו־KBD:

• AB = KB (נתון)

• ∢ABD = ∢KBD = 90

• BD צלע משותפת

לכן △ABD ≅ △KBD, ומכאן AD = KD.📐 חפיפת משולשיםצלע, זווית, צלע (צ.ז.צ)

למשולש ADK שתי צלעות שוות, ולכן הוא שווה שוקיים.

✅ פתרון סופי: AD = KD – המשולש ADK שווה שוקיים

סעיף ג (1) – BDCK בר חסימה

מסעיף ב: ∢DBK = 90.

מסעיף א: ∢ACK = 90, ו־D על AC, ולכן ∢DCK = 90.

במרובע BDCK הזוויות ∢DBK ו־∢DCK נגדיות:

∢DBK + ∢DCK = 90 + 90📐 מרובע בר חסימהאם סכום זוויות נגדיות 180 מעלות – המרובע בר חסימה

= 180

✅ פתרון סופי: BDCK בר חסימה

סעיף ג (2) – ∢DKC = ∢FAC

במעגל החוסם את BDCK: הזוויות ∢DKC ו־∢DBC נשענות על הקשת DC, ולכן ∢DKC = ∢DBC.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

D על BF, ולכן ∢DBC = ∢FBC.

במעגל המקורי: הזוויות ∢FBC ו־∢FAC נשענות על הקשת FC, ולכן ∢FBC = ∢FAC.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

∢DKC = ∢DBC = ∢FBC = ∢FAC

✅ פתרון סופי: ∢DKC = ∢FAC

סעיף ד – AC · AD = KC · AF

נשווה את המשולשים DCK (בתכלת) ו־FCA (בירוק):

• ∢DCK = ∢FCA = 90 (סעיף א)

• ∢DKC = ∢FAC (סעיף ג(2))

לכן △DCK ∼ △FCA.📐 דמיון משולשיםזווית, זווית (ז.ז)

מהדמיון – יחס הצלעות המתאימות (מול הזוויות השוות):

KCAC = DKFA

KC · AF = AC · DK

מסעיף ב, DK = AD:

KC · AF = AC · AD

✅ פתרון סופי: AC · AD = KC · AF

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	הוכחה
סעיף ג	הוכחות
סעיף ד	הוכחה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

חורף 2026 – שאלה 4