פרופורציה וחלוקת קטע ביחס נתון

📽️ סרטון – בקרוב

הסרטון של השיעור יעלה בקרוב.

פרופורציה וחלוקת קטע ביחס נתון

📘 מה לומדים

יחס בין שני מספרים הוא המנה שלהם. היחס בין a ל־b נכתב a : b או ab.

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים. ארבעה קטעים הם פרופורציוניים כשהיחס בין שני הראשונים שווה ליחס בין שני האחרונים.

ab = cd📐 כלל 1: מכפלת צלביםa · d = b · c

חלוקת קטע ביחס נתון: נקודה C מחלקת את הקטע AB ביחס m : n כש־AC : CB = m : n. נסמן חלק אחד ב־k:

AC = m·k , CB = n·k📐 חלוקה ביחס m : nAB = m·k + n·k

כלל 2 (נשתמש בו הרבה בתאלס): אם יודעים יחס של שני חלקים, יודעים גם יחס של חלק לקטע כולו.

ACCB = mn📐 כלל 2: חלק חלקי השלםACAB = mm + n

📄 תרגיל 1 – מציאת נעלם בפרופורציה

מצאו את x:

x6 = 43

פתרון תרגיל 1

נכפיל בהצלבה:

3 · x = 6 · 4📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c

3x = 24

x = 8

✅ פתרון סופי: x = 8

📄 תרגיל 2 – הנעלם במכנה

מצאו את x:

5x = 159

פתרון תרגיל 2

נכפיל בהצלבה:

15 · x = 5 · 9📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c

15x = 45

x = 3

✅ פתרון סופי: x = 3

📄 תרגיל 3 – ביטויים בפרופורציה

מצאו את x:

x + 14 = 2x − 15

פתרון תרגיל 3

נכפיל בהצלבה (שמים סוגריים!):

5(x + 1) = 4(2x − 1)📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c

נפתח סוגריים:

5x + 5 = 8x − 4

5 + 4 = 8x − 5x

9 = 3x

x = 3

✅ פתרון סופי: x = 3

📄 תרגיל 4 – חלוקת קטע ביחס

הנקודה C נמצאת על הקטע AB. נתון: AB = 20 , AC : CB = 3 : 2.

מצאו את AC ואת CB.

פתרון תרגיל 4

נסמן חלק אחד ב־k:

AC = 3k , CB = 2k📐 חלוקה ביחס m : nAB = m·k + n·k

כל הקטע שווה 20:

3k + 2k = 20

5k = 20

k = 4

נציב k = 4:

AC = 3 · 4 = 12

CB = 2 · 4 = 8

✅ פתרון סופי: AC = 12 , CB = 8

📄 תרגיל 5 – מציאת הקטע כולו

הנקודה M נמצאת על הקטע AB. נתון: AM : MB = 2 : 5 , MB = 15.

מצאו את AM ואת AB.

פתרון תרגיל 5

נכתוב את היחס כפרופורציה:

AMMB = 25

נציב MB = 15:

AM15 = 25

5 · AM = 2 · 15📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c

5 · AM = 30

AM = 6

AB = AM + MB = 6 + 15 = 21

✅ פתרון סופי: AM = 6 , AB = 21

📄 תרגיל 6 – חלק חלקי השלם

הנקודה D נמצאת על הקטע AB. נתון: ADDB = 23 , AB = 30.

א. מצאו את היחס ADAB.

ב. מצאו את AD.

פתרון סעיף א

לפי כלל 2, נחבר את שני החלקים במכנה:

ADAB = 22 + 3📐 כלל 2ACAB = mm + n

ADAB = 25

✅ פתרון סופי: ADAB = 25

פתרון סעיף ב

נציב AB = 30:

AD30 = 25

5 · AD = 2 · 30📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c

5 · AD = 60

AD = 12

✅ פתרון סופי: AD = 12

📌 סיכום

פרופורציה	ab = cd
מכפלת צלבים	a · d = b · c
חלוקה ביחס m : n	m·k ו־n·k
חלק חלקי השלם	ACAB = mm + n

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

פרופורציה וחלוקת קטע ביחס נתון