מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
קיץ 2026 מועד א – שאלה 4
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו O. AB הוא קוטר במעגל. הנקודה C נמצאת על המעגל.
הנקודה M נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע AM חותך את הקטע CO בנקודה K. הנקודה E נמצאת על הקטע BO כך שהמרובע EMKO הוא דלתון (MK = ME , OK = OE).
א. הוכיחו כי BC ∥ EK.
ב. הוכיחו כי OM ∥ AC.
נתון: BCEK = 53.
ג. מצאו את הערך של OMAC.
נסמן ב־S את שטח הדלתון EMKO.
ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש AOC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־BC ∥ EK
נסתכל על שני משולשים שווי שוקיים שיש להם אותה זווית ראש ∢BOC:
OK = OE (נתון – צלעות הדלתון), ולכן המשולש OEK שווה שוקיים.📐 משפטמשולש שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
∢OKE = ∢OEK = 180 − ∢BOC2
OC = OB (רדיוסים במעגל), ולכן גם המשולש OBC שווה שוקיים:
∢OCB = ∢OBC = 180 − ∢BOC2
∢OKE = ∢OCB
הזוויות ∢OKE ו־∢OCB הן זוויות מתאימות בין הישרים EK ו־BC עם החותך OC, והן שוות.📐 משפטזוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכח: BC ∥ EK
סעיף ב – הוכחה ש־OM ∥ AC
במרובע EMKO, שהוא דלתון, OM הוא האלכסון הראשי (מחבר את שני הקודקודים שבין זוגות הצלעות השוות) ו־EK הוא האלכסון המשני.📐 משפטבדלתון האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני
OM ⊥ EK
לפי סעיף א EK ∥ BC, וישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני:
OM ⊥ BC
AB קוטר, ולכן הזווית ההיקפית ∢ACB נשענת על קוטר:📐 משפטזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
∢ACB = 90 מעלות ⇐ AC ⊥ BC
גם OM וגם AC מאונכים לישר BC.📐 משפטשני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה
✅ פתרון סופי: הוכח: OM ∥ AC
סעיף ג – היחס OMAC
לפי סעיף א EK ∥ BC, ולכן המשולשים OEK ו־OBC דומים (זווית O משותפת, וזוויות מתאימות שוות).📐 משפטמשולשים דומים – יחס הצלעות המתאימות שווה
OKOC = EKBC = 35
נסמן את רדיוס המעגל ב־R. אז OC = R:
OK = 35R
KC = OC − OK = R − 35R = 25R
לפי סעיף ב OM ∥ AC. במשולשים OKM ו־CKA:
∢OKM = ∢CKA (זוויות קודקודיות)
∢KOM
= ∢KCA (זוויות מתחלפות, OM ∥ AC)
לכן המשולשים OKM ו־CKA דומים (ז.ז.).📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות ⇐ המשולשים דומים
OMAC = OKKC = 35R25R = 32
✅ פתרון סופי: OMAC = 32
סעיף ד – שטח המשולש AOC
האלכסון הראשי OM מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים, OKM ו־OEM (צ.צ.צ.: OK = OE, MK = ME, OM משותפת).📐 משפטמשולשים חופפים שטחם שווה
SOKM = S2
לפי סעיף ג המשולשים OKM ו־CKA דומים ביחס OKKC = 32:
SCKASOKM = (23)2 = 49📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2 (k – יחס הדמיון)
SCKA = 49 · S2 = 2S9
למשולשים AOK ו־AKC אותו גובה מהקודקוד A לישר OC, והבסיסים שלהם OK ו־KC נמצאים על אותו ישר:
SAOKSAKC = OKKC = 32📐 משפט: משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
SAOK = 32 · 2S9 = S3
SAOC = SAOK + SAKC = S3 + 2S9
= 3S9 + 2S9 = 5S9
✅ פתרון סופי: SAOC = 5S9
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | 32 |
| סעיף ד | 5S9 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il