כניסה לשיעורים

12 פרקים
322 שיעורים
10 שבועות

פתח את כל הפרקיםסגור את כל הפרקים

שיעור 56-חקירת מנה 5

2015 חורף סעיף א

2015 חורף סעיף ב

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון (שני חלקים) פתרנו שאלה מבגרות 2015 חורף: חקירה מלאה, ואז הזזה של כל הגרף 2 יחידות למטה. כאן כל סעיף בכרטיס משלו 👇

📝 השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x² − x .

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(1): מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

המכנה שונה מ־0. מוציאים גורם משותף:

x² − x ≠ 0

x(x − 1) ≠ 0

תשובה: x ≠ 0 , x ≠ 1

סעיף א(2): מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים

אנכיות: ההפך מתחום ההגדרה ← x = 0 , x = 1

אופקית: במונה יש רק מספר (כאילו 2x⁰ , חזקה 0), ובמכנה חזקה 2. החזקה במכנה גדולה יותר ← y = 0

תשובה: x = 0 , x = 1 , y = 0

סעיף א(3): מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה), וקבע את סוגן

נגזרת מנה (הנגזרת של 2 היא 0):

f'(x) = 0·(x²−x) − (2x−1)·2(x²−x)²

משווים ל־0 ומכפילים במכנה:

−(2x − 1)·2 = 0

−4x + 2 = 0

2 = 4x

x = 12

בטבלה גם האסימפטוטות 0 , 1 . המכנה בריבוע תמיד חיובי, אז מציבים רק ב־−4x + 2 :

x = −1 ← 6 > 0 עולה

x = 14 ← 1 > 0 עולה

x = 34 ← −1 < 0 יורדת

x = 2 ← −6 < 0 יורדת

מציבים בפונקציה המקורית:

f(12) = 214 − 12 = 2−14 = −8

תשובה: (12 , −8) מקסימום

סעיף א(4): סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

האסימפטוטות: ציר y ( x = 0 ), x = 1 וציר x ( y = 0 ). אין נקודות חיתוך עם הצירים

בין 0 ל־1: מקסימום ב־(12 , −8) , ושני הצדדים יורדים לאורך האסימפטוטות

מימין ל־1: לפי הטבלה יורדת: יורדת מלמעלה ונצמדת לציר x

משמאל ל־0: לפי הטבלה עולה: מתחילה ליד ציר x ועולה לאורך ציר y

🔵 סעיף ב: הזזה למטה

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − 2 . היעזר בסעיף א, וענה:
סעיף ב(1): מהן האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x) ?

מינוס 2 מוריד את כל הגרף 2 יחידות למטה. ערכי ה־x לא זזים, רק ערכי ה־y

האסימפטוטות האנכיות נשארות: x = 0 , x = 1

האסימפטוטה האופקית יורדת מ־y = 0 ל־y = −2

תשובה: x = 0 , x = 1 , y = −2

סעיף ב(2): מהם השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) ?

ה־x נשאר 12 , וה־y יורד ב־2: −8 − 2 = −10

תשובה: (12 , −10) מקסימום

סעיף ב(3): סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x)

אותו ציור בדיוק כמו f(x) , רק 2 יחידות למטה

הענפים שהתקרבו לציר x מתקרבים עכשיו ל־y = −2 , והמקסימום עובר ל־(12 , −10)

💡 לזכור

הזזה למעלה או למטה ( f(x) + c ) משנה רק את ערכי ה־y: האסימפטוטה האופקית והנקודות זזות, והאסימפטוטות האנכיות נשארות במקום.

📌 סיכום כל הטרנספורמציות — לחצו כאן

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות