מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 19: טרפז ודלתון
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 5 · מרובעים · שיעור 19
📄 דף הסבר: טרפז ודלתון
טרפז, טרפז שווה שוקיים, קטע אמצעים בטרפז ודלתון
טרפז וטרפז שווה שוקיים
טרפז: זוג אחד של צלעות מקבילות (בסיסים): AB ∥ DC
📐 הגדרה: טרפז: מרובע עם זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות (הבסיסים)
∢A + ∢D = 180 , ∢B + ∢C = 180 ← זוויות חד־צדדיות בין מקבילים
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
טרפז שווה שוקיים: AD = BC ← זוויות הבסיס שוות: ∢A = ∢B , ∢D = ∢C
📐 משפט: בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
בטרפז שווה שוקיים גם האלכסונים שווים: AC = BD (ולהפך – משפט זיהוי)
📐 משפט: בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
📐 משפט זיהוי: טרפז שבו זוויות הבסיס שוות (או האלכסונים שווים) – הוא טרפז שווה שוקיים
קטע אמצעים בטרפז: מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם
📐 משפט: קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם EF = (AB + DC) : 2
דלתון
דלתון: AB = AD , CB = CD (שני זוגות של צלעות סמוכות שוות)
📐 הגדרה: דלתון: מרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
△ABC ≅ △ADC ← צ.צ.צ (AC משותפת)
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
∢BAC = ∢DAC , ∢B = ∢D ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות (לא שוות) – שוות זו לזו
AO חוצה את זווית הראש ב־△ABD שווה השוקיים ← AC ⊥ BD , BO = OD ← חוצה זווית הראש הוא גם גובה וגם תיכון
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
📐 📐 משפט: בדלתון האלכסון הראשי חוצה את הזוויות, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו
טרפז: ∢A + ∢D = 180 · שווה שוקיים: זוויות בסיס ואלכסונים שווים · קטע אמצעים = חצי סכום הבסיסים · דלתון: האלכסון הראשי חוצה ומאונך ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: זוויות בטרפז, טרפז שווה שוקיים, קטע אמצעים עם משוואה, זוויות בדלתון והוכחה מורכבת. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: זוויות בטרפז · קל
ABCD טרפז (AB ∥ DC). ∢A = 3x + 5 , ∢D = 2x + 25
מצאו את x ואת ∢A ו־∢D
מצאו את x ואת ∢A ו־∢D
∢A + ∢D = 180 ← AB ∥ DC – סכום זוויות חד־צדדיות 180
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
3x + 5 + 2x + 25 = 180 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
5x + 30 = 180 ⟹ 5x = 150 ← כינוס ומעבירים אגפים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 30 ← מחלקים ב־5
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢A = 3 · 30 + 5 = 95 , ∢D = 2 · 30 + 25 = 85 ← מציבים x = 30
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 30 , ∢A = 95 , ∢D = 85
🟢 תרגיל 2: טרפז שווה שוקיים · קל
ABCD טרפז שווה שוקיים (AB ∥ DC , AD = BC). ∢A = 65 , AC = 12
מצאו את כל זוויות הטרפז ואת BD
מצאו את כל זוויות הטרפז ואת BD
∢B = ∢A = 65 ← בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
∢D = 180 − 65 = 115 ← סכום זוויות חד־צדדיות 180
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
∢C = ∢D = 115 ← בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
BD = AC = 12 ← בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים
📐 משפט: בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
✅ פתרון סופי: ∢A = ∢B = 65 , ∢C = ∢D = 115 , BD = 12
🟣 תרגיל 3: קטע אמצעים בטרפז · בינוני
ABCD טרפז (AB ∥ DC), EF קטע האמצעים
AB = 3x , DC = x + 4 , EF = x + 5. מצאו את x ואת שלושת הקטעים
AB = 3x , DC = x + 4 , EF = x + 5. מצאו את x ואת שלושת הקטעים
EF = (AB + DC) : 2 ⟹ 2 · EF = AB + DC ← קטע אמצעים בטרפז שווה לחצי סכום הבסיסים
📐 משפט: קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם EF = (AB + DC) : 2
2(x + 5) = 3x + x + 4 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
2x + 10 = 4x + 4 ← פותחים סוגריים וכינוס
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
10 − 4 = 4x − 2x ⟹ 6 = 2x ← מעבירים אגפים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 3 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
AB = 9 , DC = 7 , EF = 8 ✔ (8 = 16 : 2) ← מציבים x = 3
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 3 , AB = 9 , DC = 7 , EF = 8
🔷 תרגיל 4: זוויות בדלתון · בינוני
ABCD דלתון: AB = AD , CB = CD
נתון: ∢BAD = 80 , ∢BCD = 50. מצאו את ∢B , ∢D ואת ∢DAC
נתון: ∢BAD = 80 , ∢BCD = 50. מצאו את ∢B , ∢D ואת ∢DAC
∢B + ∢D = 360 − 80 − 50 = 230 ← סכום הזוויות במרובע 360
📐 משפט: סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור עם n צלעות (n − 2) · 180
∢B = ∢D ← בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות שוות
📐 משפט: בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות (לא שוות) – שוות זו לזו
∢B = ∢D = 230 : 2 = 115 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢DAC = 80 : 2 = 40 ← בדלתון האלכסון הראשי חוצה את הזוויות
📐 משפט: בדלתון: האלכסון הראשי חוצה את הזוויות, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו
✅ פתרון סופי: ∢B = ∢D = 115 , ∢DAC = 40
🔵 תרגיל 5: מורכב: האלכסונים בטרפז שווה שוקיים
ABCD טרפז שווה שוקיים (AB ∥ DC , AD = BC). האלכסונים נחתכים ב־E
הוכיחו: △ABD ≅ △BAC , ו־EA = EB
הוכיחו: △ABD ≅ △BAC , ו־EA = EB
∢DAB = ∢CBA ← בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
AD = BC , AB = BA ← נתון , צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABD ≅ △BAC ← צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה: צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
∢ABD = ∢BAC , כלומר ∢EBA = ∢EAB ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
EA = EB ← במשולש AEB שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
📐 משפט הפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות) ∢B = ∢C ⟹ AB = AC
✅ פתרון סופי: הוכחנו: △ABD ≅ △BAC , EA = EB
💡 לזכור
קטע אמצעים בטרפז: מכפילים ב־2 כדי להיפטר מהשבר: 2 · EF = AB + DC.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il