שיעור 53 – בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 5

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 5
פתרון מלא

📄 נוסח השאלה

משולש ABC חד זווית חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט.

נתון: ∢ABC = 60. נסמן: ∢BAC = t.

א. הביעו באמצעות R ו־t את שטחי המשולשים ABC ו־ODC.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא 2√3 sin80.

ב. מצאו את הערך של t.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש־∢CAE = 50, כמתואר בסרטוט.

ג. הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות.)

✏️ פתרון

סעיף א – השטחים

זוויות המשולש: ∢A = t, ∢B = 60, ולכן ∢C = 180 − 60 − t = 120 − t. לפי משפט הסינוסים:

BC = 2R sin∢A📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R

AB = 2R sin∢C

נציב ∢A = t ו־∢C = 120 − t:

BC = 2R sin t

AB = 2R sin(120 − t)

S_ABC = 12 · AB · BC · sin60📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b

נציב AB = 2R sin(120 − t) , BC = 2R sin t ו־sin60 = √32:

S_ABC = 12 · 2R sin(120 − t) · 2R sin t · √32

S_ABC = √3R² sin t · sin(120 − t)

הזווית המרכזית על הקשת BC: ∢BOC = 2∢BAC = 2t. D אמצע הקשת, ולכן ∢DOC = t.📐 זווית מרכזיתשווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת

S_ODC = 12 · OD · OC · sin∢DOC📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b

נציב OD = OC = R (רדיוסים) ו־∢DOC = t:

S_ODC = 12 · R · R · sin t

S_ODC = 12R² sin t

✅ פתרון סופי: S_ABC = √3R² sin t sin(120 − t) , S_ODC = 12R² sin t

סעיף ב – הערך של t

S_ABCS_ODC

נציב את שני השטחים מסעיף א:

S_ABCS_ODC = √3R² sin t sin(120 − t)12R² sin t

S_ABCS_ODC = 2√3 sin(120 − t)

נציב את היחס הנתון 2√3 sin80:

2√3 sin(120 − t) = 2√3 sin80

sin(120 − t) = sin80

120 − t = 80 או 120 − t = 100📐 זוויות שהסינוס שלהן שווהsin x = sin(180 − x)

t = 40 או t = 20

עם t = 20: ∢C = 100 – המשולש לא חד זווית. לכן:

t = 40

✅ פתרון סופי: t = 40

סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE

הזוויות של המשולש ACE:

∢ACB = 120 − t

נציב t = 40:

∢ACB = 120 − 40 = 80

∢BCD היקפית על הקשת BD, שהיא חצי מקשת BC: ∢BCD = 12 · ∢BAC = 20.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

∢ACD = ∢ACB + ∢BCD

נציב ∢ACB = 80 ו־∢BCD = 20:

∢ACD = 80 + 20 = 100

∢ACE = 180 − ∢ACD📐 זוויות צמודותסכומן 180 מעלות

נציב ∢ACD = 100:

∢ACE = 180 − 100 = 80

∢AEC = 180 − ∢CAE − ∢ACE📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות

נציב ∢CAE = 50 (נתון) ו־∢ACE = 80:

∢AEC = 180 − 50 − 80 = 50

∢CAE = ∢AEC = 50, ולכן CE = CA.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

CA = 2R sin∢ABC📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R

נציב ∢ABC = 60 (נתון):

CA = 2R sin60 = R√3

שטח והיקף:

S = 12 · CA · CE · sin∢ACE

נציב CA = CE = R√3 ו־∢ACE = 80:

S = 12 · R√3 · R√3 · sin80📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b

S = 1.5R² sin80

AEsin∢ACE = CAsin∢AEC

נציב ∢ACE = 80 , CA = R√3 ו־∢AEC = 50:

AEsin80 = R√3sin50📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R

AE = R√3 sin80sin50

AE ≈ 2.227R

p = CA + CE + AE2

נציב את שלוש הצלעות:

p = R√3 + R√3 + 2.227R2 ≈ 2.845R

r = Sp📐 רדיוס המעגל החסוםS = r · p
p – חצי ההיקף

נציב S = 1.5R² sin80 (במחשבון sin80 ≈ 0.9848) ו־p ≈ 2.845R:

r = 1.5R² · 0.98482.845R

r ≈ 0.519R

הסרטוט בקנה מידה (המשולש ACE בירוק, המעגל החסום מקווקו):

✅ פתרון סופי: r ≈ 0.519R

📌 סיכום

סעיף א	S_ABC = √3R² sin t sin(120 − t) , S_ODC = 12R² sin t
סעיף ב	t = 40
סעיף ג	r ≈ 0.519R

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים