מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 19 – משוואה ריבועית שלמה – פירוק או נוסחת השורשים
טכניקה אלגברית · משוואות ריבועיות · שיעור 19
📄 דף הסבר: משוואה ריבועית שלמה – פירוק או נוסחת השורשים
ax2 + bx + c = 0: מפרקים טרינום, ואם לא מסתדר, נוסחת השורשים
🎬 סרטון הסבר
מהירות:
נוסחת השורשים
x = −b ± √b2 − 4ac2a
עובדת על כל משוואה ax2 + bx + c = 0.
מה בוחרים?
כש־a = 1 ויש מספרים נוחים: פירוק טרינום (מה כפול מה, ומה ועוד מה).
בכל מקרה אחר: נוסחת השורשים.
קודם תמיד מסדרים את המשוואה ל־… = 0.
שלביםפתרון משוואה ריבועית שלמה
1מסדרים
פותחים סוגריים ומעבירים הכול לאגף אחד: ax2 + bx + c = 0.
2מזהים a, b, c
כותבים כל מקדם עם הסימן שלו.
3פותרים
פירוק טרינום, או נוסחת השורשים. מחשבים קודם את b2 − 4ac.
4בודקים
מציבים כל פתרון במשוואה המקורית.
מסדרים ל־0 · מזהים a, b, c · פירוק או נוסחה · בודקים ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בראשון מפרקים טרינום, בשני משתמשים בנוסחת השורשים, ובשלישי קודם מסדרים את המשוואה.
🔵 תרגיל 1: x2 − 5x + 6 = 0
פתרו: x2 − 5x + 6 = 0
כאן a = 1, ולכן מפרקים טרינום: מה כפול מה שווה 6, ומה ועוד מה שווה −5?
הכפל חיובי והסכום שלילי ← שני המספרים שליליים: (−2) · (−3) = 6 , (−2) + (−3) = −5
(x − 2)(x − 3) = 0📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כל גורם שווה 0:📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
x − 2 = 0 ⟹ x = 2
x − 3 = 0 ⟹ x = 3
בדיקה: 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓
32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = 2 או x = 3
🟣 תרגיל 2: 2x2 − 3x − 2 = 0
פתרו: 2x2 − 3x − 2 = 0
כאן a = 2, ולכן משתמשים בנוסחת השורשים. מזהים מקדמים עם הסימנים:
a = 2 , b = −3 , c = −2
קודם מחשבים את מה שבתוך השורש:
b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 2 · (−2)
= 9 + 16 = 25📐 חוק הסימנים בכפל−a · (−b) = ab
מציבים בנוסחה. שימו לב: −b = −(−3) = 3
x = 3 ± √252 · 2 = 3 ± 54📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
x₁ = 3 + 54 = 84 = 2
x₂ = 3 − 54 = −24 = −12
בדיקה: 2 · 22 − 3 · 2 − 2 = 8 − 6 − 2 = 0 ✓
2 · (−12)2 − 3 · (−12) − 2 = 12 + 32 − 2 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = 2 או x = −12
🟢 תרגיל 3: (x + 1)(x − 3) = 5
פתרו: (x + 1)(x − 3) = 5
זהירות: המכפלה שווה 5, לא 0, ולכן אי אפשר להשוות כל סוגריים ל־0. קודם פותחים סוגריים:
x2 − 3x + x − 3 = 5📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
x2 − 2x − 3 = 5📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x
מעבירים את 5 לאגף הראשון, כדי לקבל 0 באגף השני:
x2 − 2x − 3 − 5 = 0 ⟹ x2 − 2x − 8 = 0📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b
מה כפול מה שווה −8, ומה ועוד מה שווה −2? (−4) · 2 = −8 , (−4) + 2 = −2
(x − 4)(x + 2) = 0📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כל גורם שווה 0: x = 4 או x = −2📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
בדיקה: (4 + 1)(4 − 3) = 5 · 1 = 5 ✓
(−2 + 1)(−2 − 3) = (−1)(−5) = 5 ✓
✅ פתרון סופי: x = 4 או x = −2
💡 לזכור
כשמחשבים b2 − 4ac מציבים את b עם הסימן שלו, בתוך סוגריים: (−3)2 = 9. ואם b2 − 4ac שלילי, אין פתרון.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il