שיעור 20 – פתרון בגרות 2017 מועד א (481)

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 481 – קיץ 2017 מועד א, שאלה 5
פתרון בגרות 2017 מועד א (481)

📄 נוסח השאלה

ABCD הוא ריבוע. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע DC , כמתואר בציור.

המשולש ACE הוא שווה שוקיים, AC = CE. הישר AE חותך את הצלע BC בנקודה F.

א. מצאו את זוויות המשולש ACE.

ב. שטח המשולש ACE הוא 8√2 סמ"ר. חשבו את אורך צלע הריבוע.

ג. חשבו את אורך הקטע DF.

ד. מצאו את אורך הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש DFE.

✏️ פתרון

סעיף א – זוויות המשולש ACE

האלכסון בריבוע חוצה את זווית הריבוע, לכן:

∢ACD = 902 = 45

הנקודה E על המשך DC , לכן ∢ACE צמודה ל־∢ACD:

∢ACE = 180 − 45 = 135

המשולש ACE שווה שוקיים (AC = CE ), לכן זוויות הבסיס שוות:

∢CAE = ∢CEA

∢CAE + ∢CEA + ∢ACE = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות

נציב ∢ACE = 135 ו־∢CEA = ∢CAE:

2 · ∢CAE + 135 = 180

2 · ∢CAE = 45

∢CAE = ∢CEA = 22.5

✅ פתרון סופי: ∢ACE = 135 , ∢CAE = ∢CEA = 22.5

סעיף ב – צלע הריבוע

נסמן AC = CE = x. הזווית שביניהן ∢ACE = 135:

S = 12 · AC · CE · sin∢ACE📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢Cהזווית שבין a ו־b

נציב S = 8√2 , AC = CE = x , ∢ACE = 135:

8√2 = 12 · x · x · sin 135

8√2 = 12 · x² · sin 135

מכפילים את שני האגפים ב־2:

16√2 = x² · sin 135

מחלקים ב־sin 135:

x² = 16√2sin 135 = 32

x = √32

במחשבון: 16 √ 2 ÷ sin 135 = נותן 32.

נסמן את צלע הריבוע ב־y. במשולש ADC ישר הזווית AC יתר:

AD² + DC² = AC²📐 משפט פיתגורסניצב² + ניצב² = יתר²

נציב AD = DC = y ו־AC = √32:

y² + y² = (√32)²

2y² = 32

y² = 16

y = 4

הפתרון y = −4 נפסל, כי אורך הוא חיובי.

✅ פתרון סופי: 4 ס"מ

סעיף ג – DF

קודם נמצא את FC , ואחר כך פיתגורס במשולש DCF.

המשולש FCE ישר זווית, כי ∢FCE = 90 (זווית צמודה לזווית הריבוע). FC ניצב מול ∢CEF , ו־CE ניצב ליד הזווית:

tan∢CEF = FCCE📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית

נציב ∢CEF = 22.5 ו־CE = √32:

tan 22.5 = FC√32

FC = √32 · tan 22.5 ≈ 2.343

במשולש DCF ישר הזווית (∢C = 90 ) היתר הוא DF:

DC² + FC² = DF²📐 משפט פיתגורסניצב² + ניצב² = יתר²

נציב DC = 4 ו־FC ≈ 2.343:

4² + 2.343² = DF²

21.49 ≈ DF²

DF ≈ 4.64

✅ פתרון סופי: DF ≈ 4.64 ס"מ

סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם

במשולש DFE הצלע DF נמצאת מול הזווית ∢E = 22.5:

DFsin∢E = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R

נציב DF ≈ 4.64 ו־∢E = 22.5:

4.64sin 22.5 = 2R

12.12 ≈ 2R

R ≈ 6.06

על הלוח בסרטון נכתב 6.04 בגלל עיגולי ביניים; החישוב המדויק נותן 6.06.

✅ פתרון סופי: R ≈ 6.06 ס"מ

📌 סיכום

סעיף א	135 , 22.5 , 22.5
סעיף ב	4
סעיף ג	DF ≈ 4.64
סעיף ד	R ≈ 6.06

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים