מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 46 – בגרות 2020 קיץ ב
חקירת שורש · 5 יחידות · שאלון 571
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת חקירת שורש מבגרות 5 יחידות 2020 קיץ (מועד ב, שאלון 581 לפי המספור הישן) – פונקציה עם פרמטר a, והבחנה בין a > 0 ל-a < 0 בכל סעיף.
נתונה הפונקציה f(x) = √x² − ax² , a ≠ 0 פרמטר. אם יש צורך, הביעו את תשובותיכם באמצעות a, והבחינו בין המקרים a > 0 ו-a < 0.
🔵 סעיף א1: תחום ההגדרה – הבחנה בין a > 0 ל-a < 0
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה (הבחינו בין a > 0 ל-a < 0).
מכנה: x² ≠ 0 ← x ≠ 0
שורש במונה: x² − a ≥ 0
כאשר a > 0: x² − a = 0 ← x = ±√a
פרבולה מחייכת – מעל ציר x מחוץ לשורשים: x ≥ √a , x ≤ −√a (וגם x ≠ 0 מתקיים).
כאשר a < 0: x = ±√a – אין פתרון (שורש של מספר שלילי): פרבולה מרחפת, x² − a ≥ 0 לכל x.
יחד עם x ≠ 0 ← x ≠ 0
תשובה: a > 0: x ≥ √a , x ≤ −√a
a < 0: x ≠ 0
a < 0: x ≠ 0
🟣 סעיף א2: נקודות החיתוך עם הצירים
מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ציר y: אין, כי x = 0 לא בתחום (בשני המקרים).
ציר x: y = 0
0 = √x² − ax² (כפל ב-x²)
0 = √x² − a (העלאה בריבוע)
x² − a = 0
x = ±√a
a > 0: (±√a , 0); a < 0: אין שורש למספר שלילי – אין חיתוך.
תשובה: a > 0: (±√a , 0) ; a < 0: אין חיתוך
🔷 סעיף א3: הוכחה שהפונקציה זוגית – f(−x) = f(x)
הראו כי הפונקציה f(x) זוגית.
צריך להראות ש-f(−x) = f(x): מציבים −x במקום x:
f(−x) = √(−x)² − a(−x)²
= √x² − ax² = f(x)
המינוס בריבוע מתבטל.
תשובה: f(−x) = f(x) – זוגית
🟢 סעיף א4: האסימפטוטות המאונכות לצירים בשני המקרים
מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.
אנכית – "ההפך" מהתחום:
a < 0: x ≠ 0 ← x = 0
a > 0: התחום כולל את ±√a – אין אנכית.
אופקית – החזקות הגבוהות: √x²x² = ±xx²
חזקת המכנה (2) גדולה מחזקת המונה (1) ← y = 0, בשני המקרים.
תשובה: a < 0: x = 0 , y = 0
a > 0: y = 0
a > 0: y = 0
🟣 סעיף א5: תחומי עלייה וירידה – נגזרת מנה עם שורש
מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (בשני המקרים).
נגזרת מנה: f′·g − g′·fg², ונגזרת שורש: 2x2√x² − a
f′(x) = מונהx⁴
מונה: 2x2√x² − a·x²
− 2x·√x² − a
f′(x) = 0 (מונה = 0):
x³√x² − a = 2x√x² − a (כפל ב-√x² − a)
x³ = 2x(x² − a)
x³ = 2x³ − 2ax
x³ − 2ax = 0
x(x² − 2a) = 0
x = 0 – לא בתחום; x² = 2a ← x = ±√2a (רק כש-a > 0).
כאשר a < 0: אין קיצון. מציבים x = 1:
f′(1) = 1√1 − a − 2√1 − a
= 1 − 2(1 − a)√1 − a = 2a − 1√1 − a < 0
ב-x = −1: 1 − 2a√1 − a > 0
| x | x < 0 | x > 0 |
|---|---|---|
| f′(x) | + | − |
| f(x) | ↗ | ↘ |
כאשר a > 0: מציבים נקודות (הפונקציה זוגית – מספיק צד אחד):
x = √1.5a ← f′ > 0
x = √3a ← f′ < 0
| x | √a<x<√2a | x>√2a |
|---|---|---|
| f′(x) | + | − |
| f(x) | ↗ | ↘ |
ובצד שמאל (זוגית) – בסימטריה: עולה כש-x < −√2a, יורדת כש-−√2a < x < −√a.
תשובה: a < 0: עלייה x < 0, ירידה x > 0
a > 0: עלייה √a < x < √2a , x < −√2a
ירידה −√2a < x < −√a , x > √2a
a > 0: עלייה √a < x < √2a , x < −√2a
ירידה −√2a < x < −√a , x > √2a
🔵 סעיף ב: סקיצה של גרף הפונקציה עבור a > 0 ועבור a < 0
סרטטו סקיצה של גרף f(x) עבור a > 0 וסקיצה עבור a < 0. ליד כל גרף רשמו את תחום הפרמטר a המתאים.
a > 0: תחום x ≥ √a , x ≤ −√a; חיתוך (±√a , 0); x = ±√2a מקסימום; אסימפטוטה y = 0.
a < 0: תחום x ≠ 0; אסימפטוטות x = 0 , y = 0; אין חיתוך ואין קיצון; עלייה כש-x < 0, ירידה כש-x > 0.
תשובה: הסקיצות כמו בסרטוטים – a > 0 (למעלה), a < 0 (למטה)
💡 לזכור
שורש במונה: ≥ 0 (כולל שווה), ולכן כש-a > 0 הנקודות (±√a , 0) בתחום ואין שם אסימפטוטה. בפונקציה זוגית מספיק לבדוק סימן נגזרת בצד אחד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il