מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 26 – פתרון בגרות 2022 קיץ מועד א (481)
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 481 – קיץ 2022 מועד א (גרסה ב), שאלה 5
פתרון בגרות 2022 קיץ מועד א (481)
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABC שאורכי הצלעות שלו הם: AC = 6 , AB = 7 , BC = 8.
AD הוא התיכון לצלע BC במשולש ABC.
א. (1) מצאו את גודל הזווית ∢ABC.
(2) מצאו את אורך התיכון AD.
(3) מצאו את גודל הזווית ∢BAD.
ב. הנקודה E נמצאת על המשך AD , כמתואר בסרטוט. נתון: שטח המשולש CDE הוא 14. מצאו את אורך DE.
ג. מן הנקודה C הורידו אנך לתיכון AD , החותך אותו בנקודה F. מצאו את היחס בין שטח המשולש CDF ובין שטח המשולש CDE.
השאלה כפי שמופיעה בגרסה ב של השאלון (בגרסה א שטח המשולש CDE הוא 16).
✏️ פתרון
סעיף א(1) – ∢ABC
במשולש ABC ידועות שלוש הצלעות. הזווית ∢ABC מול הצלע AC = 6:
AC2 = AB2 + BC2 − 2 · AB · BC · cos∢B📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c
נציב AC = 6 , AB = 7 , BC = 8:
62 = 72 + 82 − 2 · 7 · 8 · cos∢B
36 = 49 + 64 − 112 cos∢B
112 cos∢B = 77
cos∢B = 77112 ≈ 0.6875
∢ABC ≈ 46.57
במחשבון: SHIFT cos ( 77 ÷ 112 ) =.
✅ פתרון סופי: ∢ABC ≈ 46.57
סעיף א(2) – התיכון AD
AD תיכון, לכן D אמצע BC:
BD = DC = 82 = 4
במשולש ABD ידועות שתי צלעות AB = 7 , BD = 4 והזווית שביניהן ∢B:
AD2 = AB2 + BD2 − 2 · AB · BD · cos∢B📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c
נציב AB = 7 , BD = 4 ו־cos∢B = 77112 מסעיף א(1):
AD2 = 72 + 42 − 2 · 7 · 4 · 77112
AD2 = 49 + 16 − 38.5 = 26.5
AD = √26.5 ≈ 5.15
✅ פתרון סופי: AD ≈ 5.15
סעיף א(3) – ∢BAD
במשולש ABD: הצלע BD = 4 מול ∢BAD , והצלע AD מול ∢B:
BDsin∢BAD = ADsin∢B📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
נציב BD = 4 , AD = √26.5 , ∢B ≈ 46.57:
4sin∢BAD = √26.5sin 46.57
sin∢BAD = 4 · sin 46.57√26.5 ≈ 0.5643
הזווית ∢BAD חדה, כי היא מול הצלע הקטנה במשולש ABD.
∢BAD ≈ 34.35
במחשבון: SHIFT sin 0.5643 =.
✅ פתרון סופי: ∢BAD ≈ 34.35
סעיף ב – DE
סכום הזוויות במשולש ABD:
∢ADB + ∢B + ∢BAD = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
נציב ∢B ≈ 46.57 , ∢BAD ≈ 34.35:
∢ADB + 46.57 + 34.35 = 180
∢ADB = 180 − 80.92 = 99.08
הזוויות ∢CDE ו־∢ADB קודקודיות, לכן שוות:
∢CDE = ∢ADB ≈ 99.08
במשולש CDE ידועות CD = 4 , הזווית ∢CDE והשטח:
SCDE = 12 · CD · DE · sin∢CDE📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢Cהזווית שבין a ו־b
נציב S = 14 , CD = 4 , ∢CDE ≈ 99.08:
14 = 12 · 4 · DE · sin 99.08
14 = 2 · DE · sin 99.08
DE = 7sin 99.08 ≈ 7.09
✅ פתרון סופי: DE ≈ 7.09
סעיף ג – יחס השטחים
הזוויות ∢CDF ו־∢CDE צמודות:
∢CDF = 180 − 99.08 = 80.92
המשולש CDF ישר זווית, כי ∢CFD = 90. היתר שלו הוא CD = 4.
cos∢CDF = DFCD📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
נציב CD = 4 , ∢CDF = 80.92:
cos 80.92 = DF4
DF = 4 · cos 80.92 ≈ 0.631
sin∢CDF = CFCD📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
sin 80.92 = CF4
CF = 4 · sin 80.92 ≈ 3.95
SCDF = DF · CF2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
נציב DF ≈ 0.631 , CF ≈ 3.95:
SCDF = 0.631 · 3.952 ≈ 1.247
היחס בין השטחים:
SCDFSCDE = 1.24714 ≈ 0.089
✅ פתרון סופי: SCDFSCDE ≈ 0.089
📌 סיכום
| סעיף א(1) | ∢ABC ≈ 46.57 |
|---|---|
| סעיף א(2) | AD ≈ 5.15 |
| סעיף א(3) | ∢BAD ≈ 34.35 |
| סעיף ב | DE ≈ 7.09 |
| סעיף ג | ≈ 0.089 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il