שיעור 23 – פתרון בגרות 2019 מועד ב (481)

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 481 – קיץ 2019 מועד ב, שאלה 5
פתרון בגרות 2019 מועד ב (481)

📄 נוסח השאלה

בטרפז ABCD (AB ∥ DC) שבציור נתון:

BC = 4 , DC = 7 , BD = 6.

א. חשבו את גודל הזווית ∢BDC.

ב. נתון: AB = AD. מצאו את אורך הצלע AD.

ג. הנקודה F נמצאת על הצלע DC. נתון כי שטח המשולש ADF הוא 8.
(1) מצאו את אורך הצלע DF.
(2) מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש ADF.

✏️ פתרון

סעיף א – ∢BDC

במשולש BDC ידועות שלוש הצלעות. הזווית ∢BDC מול הצלע BC = 4:

BC² = BD² + DC² − 2 · BD · DC · cos∢BDC📐 משפט הקוסינוסיםc² = a² + b² − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c

נציב BC = 4 , BD = 6 , DC = 7:

4² = 6² + 7² − 2 · 6 · 7 · cos∢BDC

16 = 36 + 49 − 84 cos∢BDC

84 cos∢BDC = 69

cos∢BDC = 6984 ≈ 0.8214

∢BDC ≈ 34.77

במחשבון: SHIFT cos ( 69 ÷ 84 ) =.

✅ פתרון סופי: ∢BDC ≈ 34.77

סעיף ב – השוק AD

AB ∥ DC , לכן הזוויות ∢ABD ו־∢BDC מתחלפות ושוות:

∢ABD = ∢BDC ≈ 34.77

המשולש ABD שווה שוקיים (AB = AD), לכן זוויות הבסיס שוות:

∢ADB = ∢ABD ≈ 34.77

סכום הזוויות במשולש ABD:

∢A + ∢ABD + ∢ADB = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות

נציב ∢ABD = ∢ADB ≈ 34.77:

∢A + 34.77 + 34.77 = 180

∢A = 180 − 69.54 = 110.46

הצלע AD מול ∢ABD , והצלע BD = 6 מול ∢A:

ADsin∢ABD = BDsin∢A📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R

נציב ∢ABD ≈ 34.77 , BD = 6 , ∢A ≈ 110.46:

ADsin 34.77 = 6sin 110.46

AD = 6 · sin 34.77sin 110.46 ≈ 3.65

✅ פתרון סופי: AD ≈ 3.65

סעיף ג(1) – DF

הזווית ∢ADF היא כל הזווית ∢ADC של הטרפז:

∢ADF = ∢ADB + ∢BDC

נציב ∢ADB ≈ 34.77 , ∢BDC ≈ 34.77:

∢ADF ≈ 34.77 + 34.77 = 69.54

במשולש ADF ידועות הצלע AD ≈ 3.65 , הזווית ∢ADF והשטח. נציב בנוסחת השטח:

S_ADF = 12 · AD · DF · sin∢ADF📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢Cהזווית שבין a ו־b

נציב S = 8 , AD ≈ 3.65 מסעיף ב, ∢ADF ≈ 69.54:

8 = 12 · 3.65 · DF · sin 69.54

8 ≈ 1.71 · DF

DF = 163.65 · sin 69.54 ≈ 4.68

בסרטון עוגל ל־DF ≈ 4.7 , ובחישוב רציף מקבלים 4.68.

✅ פתרון סופי: DF ≈ 4.68

סעיף ג(2) – רדיוס המעגל החוסם

סעיף זה לא נפתר בסרטון – הנה הפתרון המלא.

קודם נמצא את הצלע AF , שמול הזווית ∢ADF:

AF² = AD² + DF² − 2 · AD · DF · cos∢ADF📐 משפט הקוסינוסיםc² = a² + b² − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c

נציב AD ≈ 3.65 , DF ≈ 4.68 , ∢ADF ≈ 69.54:

AF² = 3.65² + 4.68² − 2 · 3.65 · 4.68 · cos 69.54

AF² ≈ 13.32 + 21.90 − 11.94

AF² ≈ 23.28

AF ≈ 4.82

לפי משפט הסינוסים במשולש ADF:

AFsin∢ADF = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R

נציב AF ≈ 4.82 ו־∢ADF ≈ 69.54:

4.82sin 69.54 = 2R

R = 4.822 · sin 69.54 ≈ 2.57

✅ פתרון סופי: R ≈ 2.57

📌 סיכום

סעיף א	∢BDC ≈ 34.77
סעיף ב	AD ≈ 3.65
סעיף ג(1)	DF ≈ 4.68
סעיף ג(2)	R ≈ 2.57

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים