מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 10: חפיפת משולשים: משפט צ.צ.צ
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 3 · חפיפת משולשים · שיעור 10
📄 דף הסבר: חפיפת משולשים: משפט צ.צ.צ
שלוש צלעות שוות – והשימוש בהוכחות
חפיפת משולשים: צ.צ.צ
AB = DE ← צלע
BC = EF ← צלע
AC = DF ← צלע
△ABC ≅ △DEF ← צ.צ.צ
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 📐 משפט חפיפה צ.צ.צ: שלוש צלעות שוות ← המשולשים חופפים (ואז גם כל הזוויות המתאימות שוות)
צ.צ.צ: שלוש צלעות שוות ← המשולשים חופפים ← הזוויות המתאימות שוות ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: מקבילים בעזרת חפיפה, דלתון, משוואה, הוכחה עם חישוב, ושני משולשים שווי שוקיים. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: צ.צ.צ ומקבילים · בינוני
במרובע ABCD: AB = CD , AD = CB. מעבירים את האלכסון AC
הוכיחו: AB ∥ CD
הוכיחו: AB ∥ CD
AB = CD ← נתון
CB = AD ← נתון
AC = CA ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABC ≅ △CDA ← צ.צ.צ
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
∢BAC = ∢DCA ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
∢BAC ו־∢DCA זוויות מתחלפות ← בין AB ל־CD, החותך AC
AB ∥ CD ← זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB ∥ CD
🟢 תרגיל 2: צ.צ.צ בדלתון · קל
במרובע ABCD: AB = AD , CB = CD
הוכיחו: AC חוצה את ∢BAD , ו־∢B = ∢D
הוכיחו: AC חוצה את ∢BAD , ו־∢B = ∢D
AB = AD ← נתון
CB = CD ← נתון
AC = AC ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABC ≅ △ADC ← צ.צ.צ
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
∢BAC = ∢DAC ← AC חוצה את ∢BAD ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
∢B = ∢D ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC חוצה את ∢BAD , ∢B = ∢D
🟣 תרגיל 3: חפיפה ומשוואה · בינוני
נתון: AB = DE , BC = EF , AC = DF , ∢E = 50
∢A = 2x + 10 , ∢D = 3x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש ABC
∢A = 2x + 10 , ∢D = 3x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש ABC
AB = DE , BC = EF , AC = DF ← נתון
△ABC ≅ △DEF ← צ.צ.צ
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
∢A = ∢D ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
2x + 10 = 3x − 15 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
10 + 15 = 3x − 2x ⟹ x = 25 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
∢A = 2 · 25 + 10 = 60 ← מציבים x = 25
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢B = ∢E = 50 ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
∢C = 180 − 60 − 50 = 70 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: x = 25 , ∢A = 60 , ∢B = 50 , ∢C = 70
🔷 תרגיל 4: הוכחה + חישוב · מורכב
במשולש ABC: AB = AC ו־D אמצע BC. נתון ∢B = 65
הוכיחו: AD חוצה את ∢A ו־AD ⊥ BC. מצאו את ∢BAD
הוכיחו: AD חוצה את ∢A ו־AD ⊥ BC. מצאו את ∢BAD
AB = AC ← נתון
BD = DC ← D אמצע BC
AD = AD ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABD ≅ △ACD ← צ.צ.צ
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
∢BAD = ∢CAD ← AD חוצה זווית ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
∢ADB = ∢ADC , סכומן 180 ← כל אחת 90 ← חפיפה + זוויות צמודות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
∢BAD = 180 − 90 − 65 = 25 ← סכום הזוויות במשולש ABD
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: AD חוצה זווית וגובה , ∢BAD = 25
🔵 תרגיל 5: מורכב: שני משולשים שווי שוקיים
ABC ו־DBC משולשים שווי שוקיים על אותו בסיס BC (AB = AC , DB = DC)
הוכיחו: AD ⊥ BC
הוכיחו: AD ⊥ BC
AB = AC ← נתון
DB = DC ← נתון
AD = AD ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABD ≅ △ACD ← צ.צ.צ
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
∢BAD = ∢CAD ← AE חוצה את ∢BAC ← במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
AE ⊥ BC , כלומר AD ⊥ BC ← במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AD ⊥ BC
💡 לזכור
אחרי החפיפה כותבים איזו זווית שווה לאיזו – לפי סדר הקדקודים בשם המשולשים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il