מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
קיץ 2024 מועד ב – שאלה 4
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש־AB הוא קוטר במעגל.
הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט.
נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה במעגל.
א. הוכיחו: EF = EB.
המעגל החוסם את המרובע CEFO חותך את הצלע AC בנקודה D כך ש־ED מקביל ל־AB.
ב. (1) הוכיחו כי המרובע EDOB הוא מקבילית.
(2) הוכיחו: OD ⊥ AC.
הישר ℓ משיק בנקודה C למעגל החוסם את המשולש ABC.
ג. הוכיחו כי הישר ℓ משיק למעגל החוסם את המרובע CEFO.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – EF = EB
CEFO בר חסימה, ולכן הזווית החיצונית ∢EFB שווה לזווית הפנימית שמולה: ∢EFB = ∢ECO.📐 מרובע בר חסימהזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה
OC = OB (רדיוסים), ולכן במשולש OCB: ∢OCB = ∢OBC.📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
∢EFB = ∢ECO = ∢OBC = ∢EBF
במשולש EFB שתי זוויות שוות, ולכן EF = EB.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
✅ פתרון סופי: הוכח: EF = EB
סעיף ב (1) – EDOB מקבילית
נתון ED ∥ OB. נראה גם OD ∥ BE.
במעגל החוסם את CEFO (שעליו גם D): ∢ODE = ∢OCE – זוויות היקפיות על הקשת OE.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢OCE = ∢OCB = ∢OBC = ∢EBO
∢ODE = ∢EBO
ED ∥ OB, ולכן ∢ODE + ∢DOB = 180.📐 זוויות חד־צדדיותבין ישרים מקבילים סכומן 180 מעלות (ולהפך)
∢EBO + ∢DOB = 180
הזוויות ∢DOB ו־∢EBO חד־צדדיות ביחס לישרים OD ו־BE, וסכומן 180 – לכן OD ∥ BE.📐 זוויות חד־צדדיותבין ישרים מקבילים סכומן 180 מעלות (ולהפך)
שני זוגות צלעות נגדיות מקבילים – EDOB מקבילית.📐 מקביליתמרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכח: EDOB מקבילית
סעיף ב (2) – OD ⊥ AC
AB קוטר, ולכן ∢ACB = 90, כלומר BC ⊥ AC.📐 זווית היקפיתזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90 מעלות
מסעיף ב(1): OD ∥ BC. ישר המקביל לישר המאונך ל־AC מאונך גם הוא ל־AC:
OD ⊥ AC
✅ פתרון סופי: הוכח: OD ⊥ AC
סעיף ג – ℓ משיק גם למעגל CEFO
מסעיף ב(2): ∢ODC = 90. זו זווית היקפית במעגל החוסם את CEFO (הנקודות O , D , C עליו):
∢ODC = 90, ולכן OC קוטר של המעגל החוסם את CEFO.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
ℓ משיק למעגל הגדול ב־C, ולכן ℓ ⊥ OC.📐 משיק למעגלהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
ישר המאונך לקוטר OC בקצה שלו C משיק למעגל שזה הקוטר שלו. לכן ℓ משיק למעגל החוסם את CEFO.
✅ פתרון סופי: הוכח: ℓ משיק
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח: EF = EB |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכח: EDOB מקבילית |
| סעיף ב (2) | הוכח: OD ⊥ AC |
| סעיף ג | הוכח: ℓ משיק |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il