מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 21 -פתרון בגרות 2018 מועד חורף-חקירת שורש
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו את שאלת חקירת פונקציית השורש מבגרות 481 חורף 2018: תחום הגדרה, נקודות קיצון (כולל הקצוות), סקיצה, ואז פונקציית הנגזרת: אסימפטוטות, חיוביות ושליליות וסקיצה. כל סעיף בכרטיס משלו 👇
📝 השאלה: בגרות 481 חורף 2018, f(x) = √49 − x²
נתונה הפונקציה f(x) = √49 − x²
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן.
(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ב. (1) מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f'(x) המאונכות לציר ה־x.
(2) מהם תחומי החיוביות ותחומי השליליות של פונקציית הנגזרת f'(x)?
(3) סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f'(x) (תוכל להיעזר בסעיפים הקודמים).
🔷 סעיף א(1): תחום הגדרה של f(x) = √49 − x²
סעיף א(1): מצא את תחום ההגדרה של f(x).
מה שבתוך השורש צריך להיות גדול שווה 0:
49 − x² ≥ 0
משווים ל־0 ומוצאים את הפתרונות:
49 − x² = 0
49 = x²
x = ±7
המקדם של x² שלילי ← פרבולה "בוכה" (הפוכה). מעל ציר x ועל ציר x היא בין −7 ל־7:
תשובה: ת"ה: −7 ≤ x ≤ 7
🔵 סעיף א(2): נקודות הקיצון של פונקציית השורש וסוגן
סעיף א(2): מצא את נקודות הקיצון של f(x) וקבע את סוגן.
נזכרים בנוסחה:
y = √f(x) → y' = f'(x)2√f(x)
גוזרים ומשווים ל־0:
y' = −2x2√49 − x² = 0
מצמצמים את ה־2 וכופלים במכנה:
−x = 0 ← מחלקים ב־(−1)
x = 0
מציבים בפונקציה המקורית:
y = √49 − 0² = √49 = 7
נקודה חשודה לקיצון: (0 , 7)
הנגזרת: y' = −x√49 − x². המכנה תמיד חיובי (בתחום ההגדרה), לכן מספיק להציב במונה −x:
עולה: x = −1 → y' = −(−1) = 1 > 0
יורדת: x = 1 → y' = −1 < 0
| x | −7 | −1 | 0 | 1 | 7 |
| y' | + | 0 | − | ||
| y | min | ↗ | max | ↘ | min |
גם הקצוות הם נקודות קיצון. מציבים בפונקציה:
y(−7) = √49 − (−7)² = 0
y(7) = √49 − 7² = 0
תשובה: max(0 , 7)
min(−7 , 0)
min(7 , 0)
min(−7 , 0)
min(7 , 0)
🟢 סעיף א(3): סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
סעיף א(3): סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
הגרף מתחיל ב־(−7 , 0) (מינימום), עולה עד (0 , 7) (מקסימום), ויורד עד (7 , 0) (מינימום).
אסור לצאת מתחום ההגדרה: הגרף רק בין −7 ל־7.
תשובה: קשת מעל ציר x מ־(−7 , 0) דרך (0 , 7) עד (7 , 0)
🟣 סעיף ב(1): אסימפטוטות של פונקציית הנגזרת המאונכות לציר x
סעיף ב(1): מצא את האסימפטוטות של f'(x) המאונכות לציר ה־x.
y' = −x√49 − x²
אסור שהמכנה יתאפס:
√49 − x² = 0 ← מעלים בריבוע
49 − x² = 0
49 = x²
±7 = x
ת"ה של הנגזרת: מה שבתוך השורש רק גדול מ־0 (בלי שווה, כי השורש במכנה):
49 − x² > 0
−7 < x < 7
לכן −7 ו־7 לא נכנסים לגרף של הנגזרת, והם האסימפטוטות.
תשובה: x = 7 , x = −7
🔷 סעיף ב(2): תחומי חיוביות ושליליות של פונקציית הנגזרת
סעיף ב(2): מהם תחומי החיוביות והשליליות של f'(x)?
הכלל: כאשר f עולה ← הנגזרת חיובית. כאשר f יורדת ← הנגזרת שלילית.
מהטבלה של סעיף א(2): עולה ב־−7 < x < 0 , יורדת ב־0 < x < 7.
תשובה: חיובית: −7 < x < 0
שלילית: 0 < x < 7
שלילית: 0 < x < 7
🔵 סעיף ב(3): סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f'(x)
סעיף ב(3): סרטט סקיצה של גרף f'(x).
נקודת קיצון של f היא חיתוך עם ציר x של f': x = 0 ← (0 , 0)
אסימפטוטות: x = ±7
בין −7 ל־0 הנגזרת חיובית (מעל ציר x), בין 0 ל־7 שלילית (מתחת לציר x).
תשובה: הגרף יורד משמאל לימין: מתקרב לאסימפטוטה x = −7 מלמעלה, עובר דרך (0 , 0) ומתקרב לאסימפטוטה x = 7 מלמטה
💡 לזכור
נקודות הקצה של תחום ההגדרה הן גם נקודות קיצון. ובנגזרת של שורש, השורש עובר למכנה, ולכן בתחום ההגדרה שלה אין "שווה" ← שם נמצאות האסימפטוטות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il