מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 83- חקרה עם פרמטר -בגרות 2020 571
חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון מלא של שאלת חקירה מבגרות 5 יחידות 2020 מועד ב (שאלון 571): פונקציית מנה עם פרמטר a – תחום, אסימפטוטות, חיתוך עם ציר x, נקודות קיצון, סקיצה, ומספר נקודות הקיצון של g(x) = (f(x+1))2020.
נתונה הפונקציה f(x) = x² − ax³ , a ≠ 0 הוא פרמטר.
🔵 סעיף א: תחום ההגדרה של פונקציית המנה f(x)
מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?
המכנה שונה מ-0:
x³ ≠ 0
x ≠ 0
תשובה: x ≠ 0
🟣 סעיף ב: אסימפטוטות המאונכות לצירים – אנכית ואופקית
מצא את משוואות האסימפטוטות של f(x) המאונכות לצירים.
אנכית: ההפך מהתחום, אם לא מאפס את המונה.
x = 0 במונה: 0² − a = −a ≠ 0 (כי a ≠ 0) ← לא מאפס.
אנכית: x = 0
אופקית: משווים חזקות: במכנה x³ (חזקה 3), במונה x² (חזקה 2).
החזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה ← y = 0
תשובה: x = 0 , y = 0
🟢 סעיף ג: נקודות החיתוך עם ציר x באמצעות a
הבע באמצעות a את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה-x. רשום לאילו ערכי a יש נקודות חיתוך.
מציבים y = 0:
0 = x² − ax³
כופלים ב-x³:
0 = x² − a
x² = a
x = ±√a
יש פתרון רק כש-a > 0 (אין שורש למספר שלילי).
תשובה: (±√a , 0) , עבור a > 0
🔷 סעיף ד: נקודות הקיצון של הפונקציה – נגזרת מנה
הבע באמצעות a את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן. רשום לאילו ערכי a יש נקודות קיצון.
נגזרת מנה: (uv)′ = u′·v − v′·uv²
f′(x) = 2x · x³ − 3x² (x² − a)(x³)²
f′(x) = 0 ← רק המונה שווה 0:
2x⁴ − 3x⁴ + 3ax² = 0
−x⁴ + 3ax² = 0
x²(−x² + 3a) = 0
x² = 0 ← x = 0 לא בתחום
−x² + 3a = 0 ← x² = 3a
x = ±√3a
דרך קצרה לסימן:
f′(x) = x²(−x² + 3a)x⁶
= −x² + 3ax⁴
המכנה x⁴ חיובי, לכן הסימן של f′(x) כמו הסימן של −x² + 3a – פרבולה הפוכה (∩) שחותכת ב-±√3a: חיובית בין השורשים, שלילית מחוץ להם.
| x | −√3a | 0 | √3a | ||||
| f′(x) | − | 0 | + | + | 0 | − | |
| f(x) | ↘ | min | ↗ | אס׳ | ↗ | max | ↘ |
ה-y של הקיצון:
f(√3a) = (√3a)² − a(√3a)³
= 3a − a(3a)½·3 = 2a(3a)1½
f(−√3a) = 3a − a(−√3a)³
= −2a(3a)1½
x = ±√3a קיים רק כש-a > 0 ← יש קיצון עבור a > 0.
תשובה:
max (√3a , 2a(3a)1½)
min (−√3a , −2a(3a)1½)
יש קיצון עבור a > 0
max (√3a , 2a(3a)1½)
min (−√3a , −2a(3a)1½)
יש קיצון עבור a > 0
🟣 סעיף ה: סקיצה של גרף הפונקציה f(x) עבור a > 0
ענה על סעיפים ה–ו עבור a > 0. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
אסימפטוטות: x = 0 (ציר y), y = 0 (ציר x).
חיתוך: (±√a , 0); max ב-√3a (y חיובי), min ב-−√3a (y שלילי).
תשובה: הסקיצה למעלה
🟢 סעיף ו: מספר נקודות הקיצון של g(x) = (f(x+1))2020
נתונה הפונקציה g(x) = (f(x+1))2020. היעזר בסעיפים הקודמים וקבע את מספר נקודות הקיצון של הפונקציה g(x).
f(x+1) ← כל הגרף זז 1 שמאלה: כל x של נקודה קטן ב-1.
בחזקת 2020 (זוגית): כל ערך y שלילי הופך לחיובי, 0 נשאר 0, והחיובי רק עולה.
ה-min ב-x = −√3a −1 הופך ל-max (ה-y שלו נהיה חיובי).
ה-max ב-x = √3a −1 נשאר max.
בחיתוכים x = −√a −1 ו-x = √a −1 הגרף יורד ל-0 ועולה שוב ← שתי נקודות min.
(סקיצה – הגבהים לא בקנה מידה)
תשובה: 4 נקודות קיצון
💡 לזכור
נגזרת מנה: כשהמכנה חיובי (x⁴), הסימן של f′ נקבע רק לפי המונה. חזקה זוגית הופכת כל y שלילי לחיובי, וחיתוך עם ציר x הופך לנקודת מינימום.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il