שיעור 22 – פסילת פתרונות שלא בתחום

טכניקה אלגברית · משוואות ריבועיות עם מכנים · שיעור 22

📄 דף הסבר: פסילת פתרונות שלא בתחום

פתרון שמאפס מכנה נפסל

🎬 סרטון הסבר

מהירות:

הכלל

פתרון שמאפס מכנה ← נפסל

אחרי הכפל במכנה המשותף לפעמים יוצא פתרון שאסור לפי תחום ההגדרה. אותו פוסלים.

פירוק מכנים

לפני שמחפשים מכנה משותף, מפרקים כל מכנה לגורמים:

x² − 4 = (x − 2)(x + 2) , x² − x = x(x − 1)

שלביםפתרון עם פסילת פתרונות

1מפרקים מכנים

גורם משותף או הפרש ריבועים.

2תחום הגדרה

כל גורם במכנה ≠ 0.

3כופלים ופותרים

כופלים במכנה המשותף, מסדרים ל־0 ופותרים.

4פוסלים

פתרון שלא בתחום ההגדרה נפסל.

מפרקים מכנים · תחום הגדרה · כופלים ופותרים · פוסלים מה שלא בתחום ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

שלוש משוואות שבכל אחת מהן אחד הפתרונות נפסל.

🔵 תרגיל 1: x²x − 2 = 4x − 2

פתרו: x²x − 2 = 4x − 2

תחום הגדרה: x − 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

כופלים את שני האגפים ב־(x − 2):📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

x² = 4

x = ±√4 = ±2📐 הוצאת שורשx² = k ⟹ x = ±√k

x = 2 אסור לפי תחום ההגדרה ← נפסל.📐 פסילת פתרוןפתרון שמאפס מכנה נפסל

בדיקה: (−2)²−2 − 2 = 4−4 = −1 , 4−4 = −1 ✓

✅ פתרון סופי: x = −2

🟣 תרגיל 2: xx − 2 − 1x + 2 = 8x² − 4

פתרו: xx − 2 − 1x + 2 = 8x² − 4

מפרקים את המכנה באגף השני:

x² − 4 = (x − 2)(x + 2)📐 הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

תחום הגדרה: x ≠ 2 , x ≠ −2📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

המכנה המשותף הוא (x − 2)(x + 2). כופלים כל איבר ומצמצמים:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

x(x + 2) − (x − 2) = 8

x² + 2x − x + 2 = 8📐 מינוס לפני סוגריים−(a − b) = −a + b

x² + x + 2 = 8📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

x² + x − 6 = 0📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

מה כפול מה שווה −6, ומה ועוד מה שווה 1? 3 · (−2) = −6 , 3 + (−2) = 1

(x + 3)(x − 2) = 0📐 פירוק טרינוםx² + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b

x = −3 או x = 2

x = 2 אסור לפי תחום ההגדרה ← נפסל.📐 פסילת פתרוןפתרון שמאפס מכנה נפסל

בדיקה: −3−5 − 1−1 = 35 + 1 = 85 , 89 − 4 = 85 ✓

✅ פתרון סופי: x = −3

🟢 תרגיל 3: x + 3x − 1 − 4x² − x = 3x

פתרו: x + 3x − 1 − 4x² − x = 3x

מפרקים את המכנה של השבר השני:

x² − x = x(x − 1)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)

תחום הגדרה: x ≠ 0 , x ≠ 1📐 תחום הגדרהמכנה לא יכול להיות 0

המכנה המשותף הוא x(x − 1). כופלים כל איבר ומצמצמים:📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

x(x + 3) − 4 = 3(x − 1)

x² + 3x − 4 = 3x − 3📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

x² + 3x − 3x − 4 + 3 = 0📐 העברת אגפיםax = bx + c ⟹ ax − bx = c

x² − 1 = 0 ⟹ x² = 1

x = ±√1 = ±1📐 הוצאת שורשx² = k ⟹ x = ±√k

x = 1 אסור לפי תחום ההגדרה ← נפסל.📐 פסילת פתרוןפתרון שמאפס מכנה נפסל

בדיקה: 2−2 − 42 = −1 − 2 = −3 , 3−1 = −3 ✓

✅ פתרון סופי: x = −1

💡 לזכור

בסוף תמיד משווים כל פתרון לתחום ההגדרה. פתרון שמאפס מכנה נפסל, גם אם הוא יצא נכון באלגברה.

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים