מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 11 – תרגול (שאלון 381)
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
שאלון 381
תרגול – טרפז, שישה סעיפים
📄 נוסח השאלה
בטרפז ABCD נתון: AB ∥ CD , AD = 6 ס"מ, DC = 4 ס"מ, CB = 17 ס"מ, ∢DAB = 75 . DE הוא גובה הטרפז (ראו שרטוט).
א. מצאו את אורך גובה הטרפז.
ב. מצאו את אורך הקטע AE .
ג. מצאו את גודל הזווית ∢CBA .
ד. מצאו את אורך הבסיס הגדול AB .
ה. חשבו את שטח הטרפז.
ו. מצאו את גודל הזווית ∢DBA .
✏️ פתרון
סעיף א – גובה הטרפז DE
נסתכל על המשולש DAE – ישר זווית ( ∢DEA = 90 ).
DE הוא הניצב שמול הזווית 75 , ו־AD = 6 הוא היתר ← סינוס:
sin∢A = DEAD📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
נציב ∢A = 75 ו־AD = 6 :
sin75 = DE6
כפל בהצלבה:
DE = 6 · sin 75
במחשבון: 6 × sin 75 =
DE = 5.7955… ≈ 5.80
בהמשך נחשב עם הערך המלא שעל המסך ( Ans ), ולא עם המספר המעוגל – כך התשובות הבאות יוצאות מדויקות.
✅ פתרון סופי: DE ≈ 5.80 ס"מ
סעיף ב – הקטע AE
שוב במשולש DAE : AE ו־DE ניצבים, AD = 6 יתר.
AE2 + DE2 = AD2📐 משפט פיתגורסניצב2 + ניצב2 = יתר2
נציב DE = 5.7955… (מסעיף א) ו־AD = 6 :
AE2 + 5.7955…2 = 62
מעבירים את 5.7955…2 לצד השני:
AE2 = 62 − 5.7955…2
AE2 = 36 − 33.5885 = 2.4115
AE = √2.4115 = 1.5529… ≈ 1.55
בדיקה: בקוסינוס: AE = 6 · cos 75 ≈ 1.55 ✓
✅ פתרון סופי: AE ≈ 1.55 ס"מ
סעיף ג – הזווית ∢CBA
בטרפז מוסיפים גובה נוסף: נוריד גובה CF מהקודקוד C לבסיס AB .
CF = DE ≈ 5.7955 – הגבהים בטרפז שווים.
נסתכל על המשולש CFB ( ∢CFB = 90 ). נסמן ∢CBA = x . CF הניצב שמול x , ו־CB = 17 היתר ← סינוס:
sin x = CFCB📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
נציב CF = 5.7955 ו־CB = 17 :
sin x = 5.795517
sin x = 0.3409
x = sin−1(0.3409)
במחשבון: SHIFT sin Ans ÷ 17 =
x = 19.932… ≈ 19.93
✅ פתרון סופי: ∢CBA ≈ 19.93
סעיף ד – הבסיס AB
DCFE מלבן, לכן EF = DC = 4 .
AB = AE + EF + FB
את AE ואת EF כבר יודעים. חסר FB .
נמצא את FB במשולש CFB : FB הניצב שליד הזווית 19.93 , והיתר 17 ← קוסינוס:
cos x = FBCB📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
נציב x = 19.932… (הערך המלא מסעיף ג) ו־CB = 17 :
cos 19.932… = FB17
כפל בהצלבה:
FB = 17 · cos 19.932…
FB = 15.9816… ≈ 15.98
נחזור ל־AB ונציב AE = 1.5529 , EF = 4 , FB = 15.9816 :
AB = 1.5529 + 4 + 15.9816
AB = 21.5345… ≈ 21.53
✅ פתרון סופי: AB ≈ 21.53 ס"מ
סעיף ה – שטח הטרפז
הבסיסים DC = 4 ו־AB ≈ 21.53 , והגובה DE ≈ 5.80 :
S = (DC + AB) · DE2📐 שטח טרפזS = (a + b) · h2a , b הבסיסים, h הגובה
נציב את הערכים המלאים מהמחשבון: DC = 4 , AB = 21.5345 , DE = 5.7955 :
S = (4 + 21.5345) · 5.79552
S = 25.5345 · 5.79552
S = 73.992… ≈ 73.99
✅ פתרון סופי: S ≈ 73.99 סמ"ר
סעיף ו – הזווית ∢DBA
מעבירים את האלכסון DB ונסמן ∢DBA = y .
נסתכל על המשולש DEB ( ∢DEB = 90 ):
EB = EF + FB
נציב EF = 4 ו־FB = 15.9816 :
EB = 4 + 15.9816 = 19.9816
DE הניצב שמול y , EB הניצב שלידה ← טנגנס:
tan y = DEEB📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
נציב DE = 5.7955 ו־EB = 19.9816 :
tan y = 5.795519.9816
y = tan−1(5.795519.9816)
במחשבון: SHIFT tan 5.7955 ÷ 19.9816 =
y = 16.174… ≈ 16.17
✅ פתרון סופי: ∢DBA ≈ 16.17
📌 סיכום
| סעיף א | DE ≈ 5.80 |
|---|---|
| סעיף ב | AE ≈ 1.55 |
| סעיף ג | ∢CBA ≈ 19.93 |
| סעיף ד | AB ≈ 21.53 |
| סעיף ה | S ≈ 73.99 |
| סעיף ו | ∢DBA ≈ 16.17 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il