מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 19 – פתרון בגרות 2016 מועד ב-חקירת שורש
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת חקירת פונקציית שורש לא לינארי עם חזקה בשורש מבגרות 481, 2016 מועד ב: תחום הגדרה עם פרבולה, קיצון מוחלט כולל קצוות, סקיצה, ופונקציה g(x) = 1f(x) עבור f(x) = √−x² + 6x + 7 👇
🔷 סעיף א: תחום הגדרה של פונקציית שורש עם x² בתוך השורש
נתונה הפונקציה f(x) = √−x² + 6x + 7. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מה שבתוך השורש גדול שווה 0 (אי־שוויון ריבועי):
−x² + 6x + 7 ≥ 0
משווים ל־0 ומחלקים ב־(−1):
−x² + 6x + 7 = 0 / :(−1)
x² − 6x − 7 = 0
טרינום:
(x − 7)(x + 1) = 0
x = 7 , x = −1
המקדם של x² שלילי ← פרבולה "בוכה" שחותכת ב־(−1) וב־7. היא מעל ציר x (וגם עליו) בין שתי הנקודות.
תשובה: ת"ה: −1 ≤ x ≤ 7
🔵 סעיף ב: נקודות הקיצון המוחלט של פונקציית השורש
מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה, וקבע את סוגן.
נגזרת של שורש של פונקציה:
√f(x)′ = f′(x)2√f(x)
y′ = −2x + 62√−x² + 6x + 7 = 0
כופלים במכנה:
−2x + 6 = 0
6 = 2x
x = 3
y בפונקציה המקורית:
y(3) = √−3² + 6 · 3 + 7
= √16 = 4
(3 , 4)
סוג הנקודה: המכנה תמיד חיובי (שורש בתוך ת"ה), לכן מספיק להציב במונה:
y′ = −2x + 6
y′(0) = −2 · 0 + 6 = 6 > 0
← עולה ↗
y′(4) = −2 · 4 + 6 = −2 < 0
← יורדת ↘
עולה ואחר כך יורדת ← מקסימום: (3 , 4) max
בשורש גם הקצוות של ת"ה הם נקודות קיצון. אחרי (−1) הפונקציה עולה, ולפני 7 היא יורדת ← שניהם min:
y(−1) =
√−(−1)² + 6 · (−1) + 7 = 0
y(7) = √−(7)² + 6 · 7 + 7
= 0
min (−1 , 0)
min (7 , 0)
קיצון מוחלט = הנקודה הכי גבוהה והכי נמוכה (לפי y).
תשובה: מקסימום מוחלט: (3 , 4)
מינימום מוחלט: (−1 , 0) , (7 , 0)
מינימום מוחלט: (−1 , 0) , (7 , 0)
🟢 סעיף ג: סקיצה של גרף הפונקציה
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
מרכזים את מה שמצאנו: ת"ה −1 ≤ x ≤ 7, משמאל ל־(−1) ומימין ל־7 אין גרף.
מסמנים את הנקודות:
min (−1 , 0)
max (3 , 4)
min (7 , 0)
ומעבירים קו שעובר בכל הנקודות: עולה עד המקסימום ואז יורד.
תשובה: גרף שמתחיל ב־(−1 , 0), עולה עד (3 , 4) ויורד עד (7 , 0)
🩷 סעיף ד(1): תחום ההגדרה של g(x) = 1f(x)
נתונה הפונקציה g(x) המקיימת g(x) = 1f(x). (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
g(x) = 1√−x² + 6x + 7
השורש נמצא במכנה, לכן אסור שיהיה 0: רק גדול מ־0 (בלי השווה):
−x² + 6x + 7 > 0
אותו פתרון כמו בסעיף א, בלי השווה.
תשובה: ת"ה: −1 < x < 7
🟣 סעיף ד(2): איזה גרף מייצג את g(x)
(2) מבין הגרפים I, II, III שלפניך, איזה גרף מייצג סקיצה של גרף הפונקציה g(x)? נמק.
המונה 1 חיובי, והמכנה (שורש) חיובי ← g(x) תמיד חיובית, כלומר תמיד מעל ציר x.
אפשר גם לבדוק חיתוך עם ציר x:
1√−x² + 6x + 7 = 0
כופלים במכנה:
1 = 0
אין פתרון ← אין חיתוך עם ציר x.
גרף I וגרף II חותכים את ציר x ← לא מתאימים.
תשובה: גרף III
💡 לזכור
בשורש עם x² פותרים אי־שוויון ריבועי בעזרת פרבולה. בחקירת שורש גם הקצוות של תחום ההגדרה הם נקודות קיצון. כשהשורש במכנה: רק גדול מ־0, בלי השווה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il