מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 25 – פתרון בגרות 2021 חורף (481)
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 481 – חורף 2021, שאלה 5
פתרון בגרות 2021 חורף (481)
📄 נוסח השאלה
הנקודה D נמצאת על הצלע AB במשולש ABC , כך ש־AD = 13 AC (ראו ציור).
נתון: ∢ACD = 15. הזווית ∢ADC היא זווית חדה.
א. חשבו את גודל הזווית ∢ADC.
ב. נתון כי CDB הוא משולש שווה שוקיים, CD = DB , ושטחו שווה ל־40. חשבו את אורך הקטע AD.
ג. הנקודה P היא אמצע הקטע CD. חשבו את אורך הקטע PB.
✏️ פתרון
סעיף א – ∢ADC
נסמן AD = k , ואז AC = 3k.
במשולש ACD: הצלע AD מול הזווית ∢ACD = 15 , והצלע AC מול הזווית ∢ADC:
ACsin∢ADC = ADsin∢ACD📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
נציב AC = 3k , AD = k , ∢ACD = 15:
3ksin∢ADC = ksin 15
כפל בהצלבה:
k · sin∢ADC = 3k · sin 15
מחלקים את שני האגפים ב־k:
sin∢ADC = 3 · sin 15 ≈ 0.7765
נתון שהזווית ∢ADC חדה, לכן:
∢ADC ≈ 50.94
במחשבון: SHIFT sin ( 3 sin 15 ) =.
✅ פתרון סופי: ∢ADC ≈ 50.94
סעיף ב – AD
הזוויות ∢ADC ו־∢CDB צמודות:
∢CDB = 180 − 50.94 = 129.06
במשולש CDB שתי השוקיים CD = DB והזווית שביניהן ∢CDB:
SCDB = 12 · CD · DB · sin∢CDB📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢Cהזווית שבין a ו־b
נציב S = 40 , DB = CD , ∢CDB ≈ 129.06:
40 = 12 · CD · CD · sin 129.06
40 = 12 · CD2 · sin 129.06
sin 129.06 = sin 50.94 ≈ 0.7765📐 זוויות משלימות ל־180 מעלותsin(180 − x) = sin x
CD2 = 80sin 129.06 ≈ 103.03
CD = DB ≈ 10.15
חזרה למשולש ACD. סכום הזוויות:
∢A + ∢ACD + ∢ADC = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
נציב ∢ACD = 15 , ∢ADC ≈ 50.94:
∢A + 15 + 50.94 = 180
∢A = 180 − 65.94 = 114.06
הצלע AD מול ∢ACD = 15 , והצלע CD מול ∢A:
ADsin∢ACD = CDsin∢A📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
נציב ∢ACD = 15 , CD ≈ 10.15 , ∢A ≈ 114.06:
ADsin 15 = 10.15sin 114.06
AD = 10.15 · sin 15sin 114.06 ≈ 2.88
✅ פתרון סופי: AD ≈ 2.88
סעיף ג – PB
P אמצע CD , לכן:
DP = CD2 ≈ 10.152 = 5.075
במשולש PDB ידועות שתי צלעות DP , DB והזווית שביניהן ∢PDB = ∢CDB ≈ 129.06. הצלע PB מול הזווית הזו:
PB2 = DP2 + DB2 − 2 · DP · DB · cos∢PDB📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c
נציב DP = 5.075 , DB ≈ 10.15 , ∢PDB ≈ 129.06:
PB2 = 5.0752+10.152−2·5.075·10.15·cos129.06
PB2 ≈ 193.7
PB ≈ 13.92
בחישוב בלי עיגולי ביניים: PB ≈ 13.918 ≈ 13.92.
✅ פתרון סופי: PB ≈ 13.92
📌 סיכום
| סעיף א | ∢ADC ≈ 50.94 |
|---|---|
| סעיף ב | AD ≈ 2.88 |
| סעיף ג | PB ≈ 13.92 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il