חורף 2012 – ללא מעגל

📅 חורף 2012 · בגרות 4 יחידות (035804), שאלה 4
טרפז, תיכון ליתר, מקבילית ושטחים

📄 נוסח השאלה

בטרפז ABCE (AB ∥ EC) F היא נקודה על האלכסון EB כך ש־CF ⊥ EB.

D היא נקודה על EC כך ש־DE = DC (ראה ציור).

המשך DF חותך את AB בנקודה G.

נתון: AE = 4 ס"מ, DE = 3 ס"מ, EB חוצה־זווית ∢AEC.

א. הוכח כי △EDF ∼ △BAE.

ב. הוכח כי המרובע AGDE הוא מקבילית.

ג. שטח המשולש FDE הוא S. הבע באמצעות S את שטח המשולש FGB. נמק.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון המשולשים EDF ו־BAE

∢CFE = 90

(נתון CF ⊥ EB)

ED = DC

(נתון)

ולכן FD הוא התיכון ליתר CE במשולש ישר הזווית CFE:

התיכון ליתר שווה למחצית היתר:📐 תיכון ליתר במשולש ישר זוויתהתיכון ליתר שווה למחצית היתר

FD = ED = DC = 3

במשולש DFE: DF = DE, ולכן הוא שווה שוקיים:

זוויות הבסיס שוות:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות

∢DFE = ∢DEF

EB חוצה את ∢AEC:📐 חוצה זוויתמחלק את הזווית לשתי זוויות שוות

∢AEB = ∢BEC

AB ∥ EC, ו־EB חותך אותם:📐 זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

∢ABE = ∢BEC

הזווית ∢DEF היא הזווית ∢BEC (D על EC, F על EB), ולכן:

∢DEF = ∢BEC = ∢ABE

∢DFE = ∢DEF = ∢BEC = ∢AEB

נשווה את המשולשים EDF ו־BAE:

∢DEF = ∢ABE

(הוכח)

∢DFE = ∢AEB

(הוכח)

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה

△EDF ∼ △BAE

ההתאמה: E ↔ B, D ↔ A, F ↔ E

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ב – AGDE מקבילית

בסעיף א הוכחנו:

∢DFE = ∢AEB

אלה זוויות מתחלפות בין הישרים GD ו־AE והחותך BE:

זוויות מתחלפות שוות, ולכן:📐 ישרים מקביליםאם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים

GD ∥ AE

AG ∥ DE

כי AB ∥ EC (נתון), G על AB ו־D על EC

במרובע AGDE כל שתי צלעות נגדיות מקבילות:📐 מקביליתמרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית

המרובע AGDE הוא מקבילית.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ג – שטח המשולש FGB באמצעות S

AGDE מקבילית (סעיף ב):📐 מקביליתצלעות נגדיות שוות

GD = AE = 4

AG = DE = 3

GF = GD − FD

GF = 4 − 3 = 1

כי FD = 3, סעיף א

בסעיף א הוכחנו ∢ABE = ∢AEB, ולכן במשולש ABE:

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות:📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

AB = AE = 4

GB = AB − AG

GB = 4 − 3 = 1

נשווה את המשולשים FGB ו־FDE:

GD ו־BE נחתכים בנקודה F:📐 זוויות קדקודיותזוויות קדקודיות שוות

∢GFB = ∢DFE

GB ∥ DE (כי AB ∥ EC), ו־BE חותך אותם:📐 זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

∢GBF = ∢DEF

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה

△FGB ∼ △FDE

ההתאמה: F ↔ F, G ↔ D, B ↔ E

יחס הדמיון:📐 יחס דמיוןGFDF = GBDE = FBFE

GFDF = 13

ובדיקה: GBDE = 13

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון:📐 שטחי משולשים דומיםS₁S₂ = k²

S_FGBS = (13)² = 19

S_FGB = S9

✅ פתרון סופי: S_FGB = S9

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	הוכחה
סעיף ג	S9

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים