מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 22 – פתרון בגרות 2018 מועד א (481)
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 481 – קיץ 2018 מועד א, שאלה 5
פתרון בגרות 2018 מועד א (481)
📄 נוסח השאלה
ABCD היא מקבילית.
נתון: AB = 15 , BC = 10.
נסמן: ∢DAB = x , x < 90 (זווית חדה).
א. הביעו באמצעות x את שטח המשולש BAD.
ב. נתון: שטח המקבילית הוא 75√3. חשבו את גודל הזווית x.
ג. חשבו את אורך האלכסון BD.
ד. הנקודה E נמצאת על המשך האלכסון BD , כמתואר בציור, כך ש־ED = DB.
(1) מצאו את גודל הזווית ∢ABE.
(2) מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABE.
✏️ פתרון
סעיף א – שטח BAD
במקבילית צלעות נגדיות שוות, לכן AD = BC = 10.
במשולש BAD ידועות שתי צלעות AB = 15 , AD = 10 והזווית שביניהן ∢DAB = x:
SBAD = 12 · AB · AD · sin∢DAB📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢Cהזווית שבין a ו־b
נציב AB = 15 , AD = 10 , ∢DAB = x:
SBAD = 12 · 15 · 10 · sin x
SBAD = 75 sin x
✅ פתרון סופי: SBAD = 75 sin x
סעיף ב – הזווית x
האלכסון BD מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, לכן שטח המקבילית כפול משטח המשולש BAD:
SABCD = 2 · 75 sin x = 150 sin x
נשווה לשטח הנתון:
150 sin x = 75√3
sin x = 75√3150
sin x = √32 ≈ 0.866
הזווית x חדה (נתון), לכן:
x = 60
במחשבון: SHIFT sin ( √ 3 ÷ 2 ) =.
✅ פתרון סופי: x = 60 מעלות
סעיף ג – האלכסון BD
במשולש ABD ידועות שתי צלעות AB = 15 , AD = 10 והזווית שביניהן ∢A = 60. הצלע BD מול ∢A:
BD2 = AB2 + AD2 − 2 · AB · AD · cos∢A📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c
נציב AB = 15 , AD = 10 ו־∢A = 60 שמצאנו בסעיף ב:
BD2 = 152 + 102 − 2 · 15 · 10 · cos 60
BD2 = 225 + 100 − 150 = 175
BD = √175 = 5√7 ≈ 13.23
✅ פתרון סופי: BD = 5√7 ≈ 13.23
סעיף ד(1) – ∢ABE
הנקודה E על המשך BD , לכן הזווית ∢ABE היא אותה זווית כמו ∢ABD.
במשולש ABD: הזווית ∢ABD מול הצלע AD = 10 , והזווית ∢A = 60 מול BD = √175:
ADsin∢ABD = BDsin∢A📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
נציב AD = 10 , BD = √175 ו־∢A = 60:
10sin∢ABD = √175sin 60
sin∢ABD = 10 · sin 60√175 ≈ 0.6547
הזווית ∢ABD חדה, כי היא מול הצלע הקטנה במשולש (AD = 10).
∢ABE = ∢ABD ≈ 40.89
במחשבון: SHIFT sin 0.6547 =.
✅ פתרון סופי: ∢ABE ≈ 40.89
סעיף ד(2) – רדיוס המעגל החוסם
נמצא את הצלע AE במשולש ABE.
נתון ED = DB , לכן:
BE = 2 · BD = 2√175 ≈ 26.46
במשולש ABE ידועות שתי צלעות AB = 15 , BE ≈ 26.46 והזווית שביניהן ∢ABE ≈ 40.89:
AE2 = AB2 + BE2 − 2 · AB · BE · cos∢ABE📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c
נציב AB = 15 , BE ≈ 26.46 ו־∢ABE ≈ 40.89 מסעיף ד(1):
AE2 = 152 + 26.462 − 2 · 15 · 26.46 · cos 40.89
AE2 ≈ 325
AE ≈ 18.03
הצלע AE נמצאת מול הזווית ∢ABE. לפי משפט הסינוסים במשולש ABE:
AEsin∢ABE = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
נציב AE ≈ 18.03 ו־∢ABE ≈ 40.89:
18.03sin 40.89 = 2R
R = 18.032 · sin 40.89 ≈ 13.77
✅ פתרון סופי: R ≈ 13.77
📌 סיכום
| סעיף א | 75 sin x |
|---|---|
| סעיף ב | x = 60 |
| סעיף ג | BD ≈ 13.23 |
| סעיף ד(1) | ∢ABE ≈ 40.89 |
| סעיף ד(2) | R ≈ 13.77 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il